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XIV. Skalarprodukt und Vektorprodukt
Mithilfe der eben bewiesenen Flächeninhaltsformel für Parallelogramme lässt sich eine einfache
Formel zur Volumenberechnung eines Spats bzw. einer dreiseitigen Pyramide herleiten.
Volumen eines Spats
Der von den Vektoren ~a, ~b, ~c aufgespannte
Spat hat das Volumen
V ¼jð~a ~bÞ~cj:
Beweis:
Wir gehen von der Volumenformel
V ¼ G h für Prismen aus. Die Grundfläche
kann mit dem Vektorprodukt als
j~a ~bj dargestellt werden, da es sich um
eine Parallelogrammfläche handelt. Für
die Höhe des Spats h gilt h ¼j~cjcosg,
wobei g der Winkel zwischen ~c und h ist.
Da der Vektor~a ~b senkrecht zu~a und zu
~b steht, verläuft er parallel zur Spathöhe h.
a × b g
c
h
b
g
a
V ¼ G h
Volumen eines Prismas
¼j~a ~bjh, da G ¼j~a ~bj
¼j~a ~bjj~cjcosg, da h¼j~cjcosg
¼jð~a ~bÞ~cj Definition des SP
Wir nehmen an, dass~a,~b,~c rechtssystemartig zueinander liegen (s. Abb.). Dann ist der Winkel
zwischen den Vektoren ~a ~b und ~c ebenfalls g. Der Term j~a ~bjj~cjcosg stellt daher das
Skalarprodukt von~a ~b und~c dar.
Liegen ~a, ~b, ~c linkssystemartig zueinander, so ergibt sich die Rechnung V ¼j~a ~bjh ¼
j~a ~bjj~cjcosg ¼j~a ~bjj~cjð cosg 0 Þ¼ ð~a ~bÞ~c, wobei g 0 ¼ 180° g der Winkel zwischen
~a ~b und~c ist. Insgesamt gilt also V ¼jð~a ~bÞ~cj.
Bemerkung: Der Term ð~a ~bÞ~c wird auch als Spatprodukt bezeichnet. 394-1
Volumen einer dreiseitigen Pyramide
Eine von den Vektoren ~a, ~b, ~c aufgespannte
dreiseitige Pyramide hat das
Volumen
V ¼ 1 6 jð~a ~bÞ~cj:
Beweis:
Die Pyramide hat bekanntlich ein Drittel
des Volumens eines Prismas mit derselben
Grundfläche und Höhe. Ein Prisma mit
dreieckiger Grundfläche ist die Hälfte eines
Spats. Daher ist das Pyramidenvolumen
ein Sechstel des Spatvolumens.
! ! !
Übung 9
Berechnen Sie das Volumen des von den Vektoren ~a ¼ 8 0 ,~b ¼ 2 2 ,~c ¼ 1 1 aufgespannten
Spats.
0
1
3
Übung 10
Berechnen Sie das Volumen der dreiseitigen Pyramide mit den Eckpunkten Að4; 4; 3Þ,
Bð1; 5; 2Þ,Cð1; 1; 4Þ, Dð1; 4; 6Þ. Fertigen Sie ein Schrägbild an.