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5. Das Vektorprodukt 393
C. Exkurs: Anwendungen des Vektorprodukts 393-1
Auch mithilfe des Vektorprodukts lässt sich der Flächeninhalt eines Parallelogramms im dreidimensionalen
Raum berechnen.
Flächeninhalt eines Parallelogramms
Für den Flächeninhalt des von den Vektoren
~a und ~b im Raum aufgespannten
Parallelogramms gilt:
A ¼j~a ~bj¼j~ajj~bjsing:
Beweis:
Wir gehen von der Flächeninhaltsformel
für Parallelogramme A ¼ g h ¼j~ajh
aus und setzen für die Höhe h ¼j~bjsing
ein, wobei g der von den Vektoren~a und~b
eingeschlossene Winkel ist. Dann erhalten
wir sofort den zweiten Term.
Es bleibt zu zeigen: j~a ~bj¼j~ajj~bjsing.
Hierzu betrachten wir zunächst j~a ~bj 2 ¼ð~a ~bÞ 2 .
g
b
h
a
Flächeninhalt des Parallelogramms:
A ¼j~ajh ¼j~ajj~bjsing,0° g 180°
ð~a ~bÞ 2 ¼ a 2b 3 a 3 b 2
a 3 b 1 a 1 b 3
a 1 b 2 a 2 b 1
! 2
¼ða 2 b 3 a 3 b 2 Þ 2 þða 3 b 1 a 1 b 3 Þ 2 þða 1 b 2 a 2 b 1 Þ 2
¼ a 2 2 b2 3 2a 2 b 3 a 3 b 2 þ a 2 3 b2 2 þ a2 3 b2 1 2a 3 b 1 a 1 b 3 þ a 2 1 b2 3 þ a2 1 b2 2 2a 1 b 2 a 2 b 1 þ a 2 2 b2 1
¼ a 2 2 b2 3 þ a2 3 b2 2 þ a2 3 b2 1 þ a2 1 b2 3 þ a2 1 b2 2 þ a2 2 b2 1 2a 2 a 3 b 2 b 3 2a 1 a 3 b 1 b 3 2a 1 a 2 b 1 b 2
þa 2 1 b2 1 þ a2 2 b2 2 þ a2 3 b2 3 a 2 1 b2 1 a 2 2 b2 2 a 2 3 b2 3
¼ða 2 1 þ a2 2 þ a2 3 Þðb2 1 þ b2 2 þ b2 3 Þ ða 1b 1 þ a 2 b 2 þ a 3 b 3 Þ 2
¼j~aj 2 j~bj 2 ð~a ~bÞ 2
¼j~aj 2 j~bj 2
¼j~aj 2 jbj 2 ð1
¼j~aj 2 j~bj 2 sin 2 g
j~aj 2 j~bj 2 cos 2 g
cos 2 gÞ
Da sin g 0 für 0° g 180° ist, folgt nun durch Wurzelziehen j~a ~bj¼j~ajj~bjsing.
Übung 8
Berechnen Sie mithilfe des Vektorprodukts den Flächeninhalt
a) des Parallelogramms ABCD mit Að3; 0; 4Þ,Bð4; 6; 0Þ,Cð0; 7; 1Þ,Dð 1; 1; 5Þ,
b) des Dreiecks ABC mit Að5; 0; 0Þ,Bð0; 4; 0Þ,Cð0; 0; 6Þ: