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XIV. Skalarprodukt und Vektorprodukt
B. Rechengesetze für das Vektorprodukt
Auch für das Vektorprodukt gelten einige Rechengesetze, von denen wir die wichtigsten auflisten
und exemplarisch beweisen.
Rechengesetze für das Vektorprodukt
(1) ~a ~b ¼ ð~b ~aÞ Anti-Kommutativgesetz
(2) ðr ~aÞ~b ¼ r ð~a ~bÞ für r 2 R Assoziativgesetz
(3) ~a ð~b þ~cÞ¼ð~a ~bÞþð~a ~cÞ Distributivgesetz
Exemplarischer Beweis zu (1):
!
b 2 a 3 b 3 a 2
ð~b ~aÞ¼ b 3 a 1 b 1 a 3 ¼
b 1 a 2 b 2 a 1
!
b 2 a 3 þ b 3 a 2
b 3 a 1 þ b 1 a 3 ¼
b 1 a 2 þ b 2 a 1
!
a 2 b 3 a 3 b 2
a 3 b 1 a 1 b 3 ¼~a ~b
a 1 b 2 a 2 b 1
Übung 3
Beweisen Sie die Aussagen (2) und (3) im obigen Kasten.
Übung 4
Beweisen Sie: Für jeden Vektor~a des Raumes gilt:~a ~a ¼~0.
Übung 5
Beweisen Sie folgende Eigenschaft des Vektorprodukts:
Sind die Vektoren~a und ~b linear abhängig, dann gilt:~a ~b ¼~0.
Übung 6
Gilt für das Vektorprodukt das Assoziativgesetz ð~a ~bÞ~c ¼~a ð~b ~cÞ?
Übung 7
Wahr oder falsch? Überprüfen Sie die Richtigkeit folgender Gleichungen für beliebige Vektoren
des Raumes!
a) ~a ~b ~b ~a ¼~0 b) ð~a þ~bÞð~a þ~bÞ¼~a ~a þ~b ~b
Knobelaufgabe
Zwei Gläser sind mit gleichem Volumen gefüllt, ein Glas mit Rotwein, das andere mit Weißwein.
Aus dem Rotweinglas wird ein Löffel Rotwein entommen und in das Weißweinglas
gegeben. Anschließend wird, ohne sorgfältig umzurühren, aus dem
Weißweinglas dieselbe Portion entnommen und in das Rotweinglas
zurückgegeben. Befindet sich nun anteilig mehr Rotwein im
Weißweinglas oder mehr Weißwein im Rotweinglas? Hätte eine
sorgfältige Mischung zu einem anderen Ergebnis geführt?