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5. Das Vektorprodukt 391
c
....................
c
Beispiel: Gegeben sind ~a ¼
! !
Lösung: 3
2 1 1
1 2
!
¼ a 1
a 2
a 3
!
!
3
2
1
und ~b ¼ 1 1
2
. Berechnen Sie ~a ~b.
!
b 1
b 2
b 3
!
¼ a 2b 3 a 3 b 2
a 3 b 1 a 1 b 3
a 1 b 2 a 2 b 1
!
¼ 2 2 ð 1Þ1
ð 1Þ1 3 2 ¼
3 1 2 1
!
5
7
1
Das nebenstehende Schema dient als
Merkregel für das Vektorprodukt. Man erhält
die 1. Koordinate des Vektorprodukts,
indem man die 1. Koordinaten der gegebenen
Vektoren streicht, die übrigen Koordinaten
über Kreuz multipliziert und die Differenz
der Produkte bildet. Analog erhält
man die 2. und 3. Koordinate. Bei der
Kreuzmultiplikation für die 2. Koordinate
muss allerdings zusätzlich das Vorzeichen
umgekehrt werden.
Merkregel:
1. Koordinate 3
2
1
2. Koordinate
3. Koordinate
!
1 1
2
!
! !
3
2
1
1 1
2
22 ð 1Þ1 ¼ 5
ð32 ð 1Þ1Þ¼ 7
! !
3
2
1
1 1
2
3 1 2 1 ¼ 1
Übung 1
Berechnen Sie für die Vektoren~a und ~b das Vektorprodukt ~a ~b ohne und mit CAS.
! !
! ! ! ! !
!
a) ~a¼ 2 1
5
,~b¼ 3 4
2
b) ~a¼ 1 3
7
,~b¼ 2 0
1
c) ~a¼ 1 8
0
,~b¼ 2 1
1
d) ~a¼ 2 1
3
,~b¼ 4 2
6
Der Vektor ~a ~b ist, wie oben bereits bewiesen,
orthogonal zu~a und zu ~b.
Die Vektoren~a,~b und~a ~b bilden ein sog.
„Rechtssystem“ wie auch die KoordinatenachsenimräumlichenkartesischenKoordinatensystem.
Die abgebildete „Rechte-
Hand-Regel“ veranschaulicht diesen Begriff.
Diese Eigenschaft ist in physikalischen
Zusammenhängen wichtig.
a × b
a
b
Eigenschaften des Vektorprodukts:
Für linear unabhängige Vektoren~a und ~b im Raum gilt:
(1) ~a ~b ist orthogonal zu~a und zu ~b.
(2) Die Vektoren~a, ~b und~a ~b bilden ein „Rechtssystem“.
Übung 2
Gegeben sind die Vektoren~a ¼
!
1
1 , ~b ¼
3
!
5
2 und~c ¼
3
!
2
3 .
0
Bilden Sie a) ~a ~b, b) ~a ~c, c) ~b ~c, d) ~c ~a, e) ~a ð~b ~cÞ.