Download (PDF: 6.1 MB)

390
XIV. Skalarprodukt und Vektorprodukt
5. Das Vektorprodukt
A. Die Definition des Vektorprodukts
Im 2. Abschnitt haben wir auf Seite 379 zu zwei gegebenen, linear unabhängigen Vektoren einen
orthogonalen Vektor durch Lösen des zugehörigen Gleichungssystems ermittelt. Solche orthogonale
Vektoren sind in der Geometrie und Technik häufig gesucht und werden im folgenden
Kapitel benötigt. Daher entwickeln wir im Folgenden eine Formel, mit der man zu zwei gegebenen
Vektoren des Raums schnell einen orthogonalen Vektor bestimmen kann.
Gesucht ist ein Vektor ~x, der zu zwei gegebenen
Vektoren ~a und ~b des Raums orthogonal
ist. Daher müssen die Skalarprodukte~a
~x und~b ~x null ergeben. Das zugehörige
Gleichungssystem, das sich durch
Einsetzen der Spaltenvektoren ergibt, hat
unendlich viele Lösungen.
Der Vektor ~x ¼ a 3 b 1 a 1 b 3
a 2b 3 a 3 b 2
a 1 b 2 a 2 b 1
!
ist eine Lösung,
wie sich leicht beweisen lässt:
!
I ~a ~x ¼ a 1
a 2
a 3
!
II ~b ~x ¼ b 1
b 2
b 3
!
x 1
x 2 ¼ 0
x 3
!
x 1
x 2 ¼ 0
x 3
I a 1 x 1 þ a 2 x 2 þ a 3 x 3 ¼ 0
II b 1 x 1 þ b 2 x 2 þ b 3 x 3 ¼ 0
I a 1 ða 2 b 3 a 3 b 2 Þþa 2 ða 3 b 1 a 1 b 3 Þþa 3 ða 1 b 2 a 2 b 1 Þ ¼
a 1 a 2 b 3 a 1 a 3 b 2 þ a 2 a 3 b 1 a 1 a 2 b 3 þ a 1 a 3 b 2 a 2 a 3 b 1 ¼ 0
II b 1 ða 2 b 3 a 3 b 2 Þþb 2 ða 3 b 1 a 1 b 3 Þþb 3 ða 1 b 2 a 2 b 1 Þ ¼
a 2 b 1 b 3 a 3 b 1 b 2 þ a 3 b 1 b 2 a 1 b 2 b 3 þ a 1 b 2 b 3 a 2 b 1 b 3 ¼ 0
Der obige Lösungsvektor ~x ist aus Koordinatenprodukten der Vektoren ~a und ~b aufgebaut. Er
wird als Vektorprodukt der Vektoren ~a und ~b bezeichnet und symbolisch als ~a ~b dargestellt.
Definition des Vektorprodukts 0 1 0
a 1
Für zwei Vektoren~a ¼ @ A und ~b ¼ @
a 2
a 3
b 1
b 2
b 3
(gelesen: „a kreuz b“) das Vektorprodukt von~a und ~b.
1
0
a 2 b 3
1
a 3 b 2
A des Raums heißt~a ~b ¼ @ a 3 b 1 a 1 b 3
A
a 1 b 2 a 2 b 1
390-1
Während das Skalarprodukt für alle Vektoren gilt, also für Spaltenvektoren mit 2 Koordinaten, 3
Koordinaten, 4 Koordinaten usw., ist das Vektorprodukt nur für Vektoren im dreidimensionalen
Raum definiert. Ferner stellt das Vektorprodukt zweier Vektoren wieder einen Vektor dar im
Unterschied zum Skalarprodukt, dessen Ergebnis eine reelle Zahl ist.