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3. X. Numerische Weiterführung Integrationsverfahren der Integralrechnung
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Überblick
Rotationsvolumen
Die Funktion f sei über dem Intervall ½a;bŠ differenzierbar und nicht negativ. Rotiert der Graph
von f über ½a;bŠ um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskörper mit dem Volumen
ð b
V ¼ p fðxÞ y
f
2
dx:
a
a
b x
Uneigentliche Integrale
Ist die Funktion f auf dem Intervall ½a; 1Š
stetig und existiert der Grenzwert
Ð
lim
k fðxÞdx, dann definiert man diesen
k!1 a
Grenzwert als uneigentliches Integral
von f über ½a; 1½ und schreibt hierfür
Ð1
fðxÞdx.
a
Ist die Funktion f an der Stelle a nicht definiert,
aber auf dem Intervall Ša; bŠ stetig
Ð
und existiert der Grenzwert lim
b fðxÞdx,
k!1 k
dann definiert man diesen Grenzwert als
uneigentliches Integral von f über Ša; bŠ
und schreibt hierfür Ðb fðxÞdx.
a
Näherungsformeln für Integrale
f sei eine auf dem Intervall ½a;bŠ stetige Funktion.
Rechteckverfahren fðxÞdx b a
n ðy 0 þ y 1 þ ...þ y n 1 Þ,y i ¼ f aþ i b a
ð b a
n þ b a
2n
Trapezverfahren
ð b a
fðxÞdx b a
2n ðy 0 þ 2y 1 þ ...þ 2y n 1 þ y n Þ,y i ¼ f aþ i b a
n
Keplersche Fassregel
Simpson-Verfahren
ð b a
ð b a
fðxÞdx b a
6 fðaÞþ4fðmÞþfðbÞ ,m¼ a þ b
fðxÞdx b a
6n ðy 0 þ 4y 1 þ 2y 2 þ ...þ 4y 2n 1 þ y 2n Þ,y i ¼ f aþ i b a
2n
2