Download (PDF: 6.1 MB)
Download (PDF: 6.1 MB) Download (PDF: 6.1 MB)
294 X. Weiterführung der Integralrechnung Übung 15 Ellipsen Eine Ellipse mit den Halbachsen a und b 2þ hat die Gleichung x y 2¼ a b 1. a) Errechnen Sie den Flächeninhalt der abgebildeten Ellipse mit den Halbachsen a ¼ 3 und b ¼ 2. b) Welchen Umfang hat die Ellipse? Diese Aufgabe ist relativ schwierig. 2a e F M F e 2 = a 2 - b 2 2b Übung 16 Messwertkurven Bei einem Aufprallversuch wird die Kraft in zeitlichen Abständen von 10 ms gemessen, wobei sich folgende Messtabelle ergibt. Zeit t in ms 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Kraft F in N 2 5 15 37 50 60 55 35 0 Wie groß ist die Fläche unter der Ausgleichskurve durch die Messwerte? Berechnen Sie diese numerisch-manuell mithilfe des aÞ Trapezverfahrens, 8 Trapezstreifen, bÞ Simpson-Verfahrens, 4 Simpson- Streifen. F/N 50 10 Kraftstoß 10 50 t/ms Übung 17 Skizzieren und berechnen Sie den Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f über dem Intervall I (8 Trapezstreifen, 4 Simpson-Streifen oder Rechnereinsatz). p aÞ fðxÞ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x x 2 , I¼½0;4Š bÞ fðxÞ¼ 2 x þ 1 x2 ,I¼½1;2Š cÞ fðxÞ¼ ,I¼½ 1;1Š x 2 þ 1 Übung 18 Ein Schiff fährt mit einer Geschwindigkeit von 8 km/h auf dem abgebildeten Kurs. Wie lange dauert die Fahrt von A nach B? Übung 19 Gesucht ist der Flächeninhalt unter der Kurve durch die gegebenen 7 Messwerte. a) y 4 y/km A 50 f(x) = 4 x 10 10 50 x 1 B b) x 0 2 4 6 8 10 12 y 5 8 10 11 10 9 1 4 x/km
3. X. Numerische Weiterführung Integrationsverfahren der Integralrechnung 295 Überblick Rotationsvolumen Die Funktion f sei über dem Intervall ½a;bŠ differenzierbar und nicht negativ. Rotiert der Graph von f über ½a;bŠ um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskörper mit dem Volumen ð b V ¼ p fðxÞ y f 2 dx: a a b x Uneigentliche Integrale Ist die Funktion f auf dem Intervall ½a; 1Š stetig und existiert der Grenzwert Ð lim k fðxÞdx, dann definiert man diesen k!1 a Grenzwert als uneigentliches Integral von f über ½a; 1½ und schreibt hierfür Ð1 fðxÞdx. a Ist die Funktion f an der Stelle a nicht definiert, aber auf dem Intervall Ša; bŠ stetig Ð und existiert der Grenzwert lim b fðxÞdx, k!1 k dann definiert man diesen Grenzwert als uneigentliches Integral von f über Ša; bŠ und schreibt hierfür Ðb fðxÞdx. a Näherungsformeln für Integrale f sei eine auf dem Intervall ½a;bŠ stetige Funktion. Rechteckverfahren fðxÞdx b a n ðy 0 þ y 1 þ ...þ y n 1 Þ,y i ¼ f aþ i b a ð b a n þ b a 2n Trapezverfahren ð b a fðxÞdx b a 2n ðy 0 þ 2y 1 þ ...þ 2y n 1 þ y n Þ,y i ¼ f aþ i b a n Keplersche Fassregel Simpson-Verfahren ð b a ð b a fðxÞdx b a 6 fðaÞþ4fðmÞþfðbÞ ,m¼ a þ b fðxÞdx b a 6n ðy 0 þ 4y 1 þ 2y 2 þ ...þ 4y 2n 1 þ y 2n Þ,y i ¼ f aþ i b a 2n 2
- Seite 19 und 20: IX. Logarithmusfunktionen y In dies
- Seite 21 und 22: 1. Die Differentiation der Umkehrfu
- Seite 23 und 24: 1. 2. Die Differentiation natürlic
- Seite 25 und 26: Wie Euler Logarithmen berechnete 24
- Seite 27 und 28: 3. Die Ableitung von fðxÞ¼ln x 2
- Seite 29 und 30: 3. Die Ableitung von fðxÞ¼ln x 2
- Seite 31 und 32: 3. 4. Die Elementare Ableitung Funk
- Seite 33 und 34: 3. 4. Die Elementare Ableitung Funk
- Seite 35 und 36: 3. 5. Die Kurvendiskussionen Ableit
- Seite 37 und 38: 3. 5. Die Kurvendiskussionen Ableit
- Seite 39 und 40: 3. 5. Die Kurvendiskussionen Ableit
- Seite 41 und 42: 3. 5. Die Kurvendiskussionen Ableit
- Seite 43 und 44: 3. 5. Die Kurvendiskussionen Ableit
- Seite 45 und 46: IX. Logarithmusfunktion 269 Überbl
- Seite 47 und 48: X. Weiterführung der Integralrechn
- Seite 49 und 50: 1. Das Volumen von Rotationskörper
- Seite 51 und 52: 1. Das Volumen von Rotationskörper
- Seite 53 und 54: 1. Das Volumen von Rotationskörper
- Seite 55 und 56: 2. Uneigentliche Integrale 279 Im o
- Seite 57 und 58: 2. Uneigentliche Integrale 281 Typ
- Seite 59 und 60: 2. Uneigentliche Integrale 283 Übu
- Seite 61 und 62: 3. Numerische Integrationsverfahren
- Seite 63 und 64: 3. Numerische Integrationsverfahren
- Seite 65 und 66: 3. Numerische Integrationsverfahren
- Seite 67 und 68: 3. Numerische Integrationsverfahren
- Seite 69: 3. Numerische Integrationsverfahren
- Seite 73 und 74: XIV. Skalarprodukt und Vektorproduk
- Seite 75 und 76: 5. Das Vektorprodukt 391 c ........
- Seite 77 und 78: 5. Das Vektorprodukt 393 C. Exkurs:
- Seite 79 und 80: 5. Das Vektorprodukt 395 Übungen 1
- Seite 81 und 82: XIV. 5. DasSkalarprodukt Vektorprod
- Seite 83 und 84: XVII. Kugeln Auch Kugeln im Raum k
- Seite 85 und 86: 1. Kugelgleichungen 467 c .........
- Seite 87 und 88: 2. Kugeln, Geraden und Ebenen 469 2
- Seite 89 und 90: 2. Kugeln, Geraden und Ebenen 471 .
- Seite 91 und 92: 2. Kugeln, Geraden und Ebenen 473 .
- Seite 93 und 94: 2. Kugeln, Geraden und Ebenen 475 1
- Seite 95 und 96: 2. Kugeln, Geraden und Ebenen 477 4
- Seite 97 und 98: 2. XVII. Kugeln, Kugeln Geraden und
- Seite 99 und 100: XXII. Die Normalverteilung Die wich
- Seite 101 und 102: 1. Die Normalverteilung 601 Wird de
- Seite 103 und 104: 1. Die Normalverteilung 603 c .....
- Seite 105 und 106: 1. Die Normalverteilung 605 Möchte
- Seite 107 und 108: 2. Anwendung der Normalverteilung 6
- Seite 109 und 110: 2. Anwendung der Normalverteilung 6
- Seite 111 und 112: 2. Anwendung der Normalverteilung 6
- Seite 113 und 114: 2. XXII. Anwendung Die Normalvertei
- Seite 115 und 116: Tabellen zur Stochastik 715 Tabelle
294<br />
X. Weiterführung der Integralrechnung<br />
Übung 15 Ellipsen<br />
Eine Ellipse mit den Halbachsen a und b<br />
2þ <br />
hat die Gleichung<br />
x y 2¼<br />
a b 1.<br />
a) Errechnen Sie den Flächeninhalt der<br />
abgebildeten Ellipse mit den Halbachsen<br />
a ¼ 3 und b ¼ 2.<br />
b) Welchen Umfang hat die Ellipse?<br />
Diese Aufgabe ist relativ schwierig.<br />
2a<br />
e<br />
F M F<br />
e 2 = a 2 - b 2<br />
2b<br />
Übung 16 Messwertkurven<br />
Bei einem Aufprallversuch wird die Kraft<br />
in zeitlichen Abständen von 10 ms gemessen,<br />
wobei sich folgende Messtabelle ergibt.<br />
Zeit t in ms 0 10 20 30 40 50 60 70 80<br />
Kraft F in N 2 5 15 37 50 60 55 35 0<br />
Wie groß ist die Fläche unter der Ausgleichskurve<br />
durch die Messwerte? Berechnen<br />
Sie diese numerisch-manuell mithilfe<br />
des<br />
aÞ Trapezverfahrens, 8 Trapezstreifen,<br />
bÞ Simpson-Verfahrens, 4 Simpson-<br />
Streifen.<br />
F/N<br />
50<br />
10<br />
Kraftstoß<br />
10 50 t/ms<br />
Übung 17<br />
Skizzieren und berechnen Sie den Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f über dem Intervall I<br />
(8 Trapezstreifen, 4 Simpson-Streifen oder Rechnereinsatz).<br />
p<br />
aÞ fðxÞ¼<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
4x x 2 , I¼½0;4Š bÞ fðxÞ¼ 2<br />
x þ 1<br />
x2<br />
,I¼½1;2Š cÞ fðxÞ¼ ,I¼½ 1;1Š<br />
x 2 þ 1<br />
Übung 18<br />
Ein Schiff fährt mit einer Geschwindigkeit<br />
von 8 km/h auf dem abgebildeten Kurs.<br />
Wie lange dauert die Fahrt von A nach B?<br />
Übung 19<br />
Gesucht ist der Flächeninhalt unter der<br />
Kurve durch die gegebenen 7 Messwerte.<br />
a)<br />
y<br />
4<br />
y/km<br />
A<br />
50<br />
f(x) = 4 x<br />
10<br />
10 50 x<br />
1<br />
B<br />
b)<br />
x 0 2 4 6 8 10 12<br />
y 5 8 10 11 10 9<br />
1 4<br />
x/km
Change language