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1. Die Produktintegration 179
Übungen
Produktintegration
2. Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch partielle Integration vom Typ 1 „Abräumen“.
ð
ð
a) x ·cos x dx b) x 2·cos ð
x dx c) (ax+b) ·sin x dx
d)
ð
ð
ð
(ax 2 +bx+c) ·cos x dx e) x ·cos ax dx ða 2 RÞ f) x 4·sin x dx
3. Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch partielle Integration vom Typ 2 „Wiederentstehung
des Ausgangsintegrals“.
ð
ð
ð
a) sin x ·cos x dx b) sin 3 xdx c) sin 2 x ·cos 1 2 xdx
4. Beweisen Sie, dass für eine differenzierbare Funktion u(x) gilt:
ð
a) u·u 0 dx ¼ 1 2 u2 +C,
b)
ð
u n·u 0 dx ¼ 1
n þ 1 un+1 +C
ðn 2 NÞ.
5. Weisen Sie die folgenden Rekursionsformeln nach.
ð
ð
a) cos n xdx¼ 1 n cosn–1 x ·sin x + n 1 cos n–2 xdx
n
ð
ð
b) sin n xdx¼ – 1 n sinn–1 x ·cos x + n 1 sin n–2 xdx
n
ðn 2 NÞ
ðn 2 NÞ
Knobelaufgabe
Tim und Tom sind gute Freunde. Nach dem (in vollen Lebensjahren angegebenen)
Alter gefragt, antwortet Tim: „Ich bin jetzt doppelt so alt, wie Tom
war, als ich so alt war, wie Tom jetzt ist. Wenn Tom so alt sein wird, wie ich
jetzt bin, dann werden wir zusammen 63 Jahre alt sein.“
Wie alt ist Tim? Wie alt ist Tom? Überprüfe deine Ergebnisse durch eine
Probe.