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3. Numerische Integrationsverfahren 293<br />
Übung 14 Die Bogenlänge einer Kurve<br />
Die Fahrbahn der bekannten Golden-Gate-<br />
Brücke ist an dicken Stahlseilen aufgehängt.<br />
Die Seilkurve kann durch eine mathematische<br />
Funktion beschrieben werden,<br />
die so genannte Kettenlinie. Sie lässt sich<br />
angenähert durch eine Parabel beschreiben.<br />
Im Folgenden wird der Frage nachgegangen,<br />
wie man die Länge einer solchen<br />
gekrümmten Linie berechnen kann, deren<br />
Funktionsgleichung bekannt ist.<br />
Man sucht also die Bogenlänge einer Funktion f über dem Intervall [a ; b]. Um diese zu berechnen,<br />
wird das Intervall [a ; b] in n gleich große Teilintervalle der Breite D x unterteilt.<br />
Der Funktionsgraph von f über dem Intervall [a ; b] kann nun durch n Strecken l i approximiert<br />
werden. Die Bogenlänge L kann durch die Summe der Streckenlängen angenähert werden.<br />
Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die<br />
Länge der i-ten Strecke:<br />
l i ¼<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
p<br />
2<br />
Dx 2 þ Dy 2 i<br />
¼ 1 þ D y i<br />
Dx.<br />
Dx<br />
Die Gesamtlänge erhält man durch Summation<br />
der n einzelnen Streckenlängen.<br />
L P l i ¼ P<br />
r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2<br />
1 þ Dy i<br />
Dx<br />
Dx<br />
y<br />
l i<br />
Δx<br />
Δy i<br />
f<br />
a = x 0<br />
b = x n x<br />
Es handelt sich um eine Produktsumme, die sich im Grenzprozess Dx ! 0, n !1in ein Integral<br />
verwandelt. Da lim<br />
D y<br />
D x ¼ f0 ðxÞ gilt, erhalten wir folgende Formel für L.<br />
Dx!0<br />
Die Bogenlänge<br />
Für die Bogenlänge L des Graphen von f<br />
über dem Intervall ½a ;bŠ gilt:<br />
ð b<br />
L ¼<br />
a<br />
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
1 þ f 0 ðxÞ 2<br />
dx<br />
261-1<br />
I. Berechnen Sie die Bogenlänge der Funktion f über dem Intervall I exakt.<br />
a) fðxÞ¼2x 1, I ¼½0;2Š b) fðxÞ¼ 1 8 x4 þ 1 , I¼½1;3Š<br />
4x<br />
p 2<br />
c) fðxÞ¼ ffiffiffiffi<br />
pffiffi<br />
x 3<br />
x ð4x 3Þ<br />
, I¼½0;4Š d) fðxÞ¼ , I¼½0;9Š<br />
6<br />
II.<br />
Meistens kann das Bogenlängenintegral nur durch Näherungsintegration berechnet werden.<br />
Führen Sie dies in den folgenden Fällen durch.<br />
a) fðxÞ¼x 2 , I¼½0;1Š; Rechteckverfahren: 5 Rechteckstreifen<br />
b) fðxÞ¼8 2x 2 , I¼½ 2;2Š; Trapezverfahren: 8 Trapezstreifen<br />
c) fðxÞ¼x 3 , I¼½ 1;1Š; Simpson-Verfahren: 10 Rechteckstreifen
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