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292<br />
X. Weiterführung der Integralrechnung<br />
Das Simpson-Verfahren arbeitet schon für kleine Streifenzahlen erstaunlich exakt. Bei jeder<br />
Verzehnfachung der Streifenzahl steigt die Genauigkeit um ca. vier Dezimalstellen. Dennoch ist<br />
der manuelle Rechenaufwand groß, so dass auch hier die Anwendung von Computern vorteilhaft<br />
ist. Wie das Rechteck und das Trapezverfahren kann auch das Simpson-Verfahren als CAS-<br />
Funktion – etwa simpv(a, b, n) – definiert werden, wobei a und b wieder die Intervallgrenzen sind,<br />
n dagegen die Anzahl der „Doppelstreifen“ ist.<br />
c<br />
.......................................................................................<br />
c<br />
Beispiel: Simpson-Verfahren mit CAS<br />
Definieren Sie eine CAS-Funktion simpv(a, b, n) zum Simpson-Verfahren, wobei der Integrand<br />
unter dem Funktionsterm y1(x) im Funktionseditor zu speichern ist. Berechnen Sie dann<br />
ð<br />
5<br />
5<br />
Näherungswerte des bestimmten Integrals dx für n ¼ 5, 50 und 500 Streifen.<br />
1 x<br />
Lösung:<br />
In der Formel des Simpson-Verfahrens tritt der Faktor 4 bei den Summanden mit ungeradem<br />
Index i ¼ 1, 3, ...,2n 1 und der Faktor 2 bei den Summanden mit geraden Index<br />
i ¼ 2, 4, ...,2n 2 auf. Allgemein kann man diese alternierende Folge 4, 2, 4, 2, 4, ... durch<br />
3 ð 1Þ i darstellen.<br />
(y1(a)+ P ((1-(-1)^i)y1(a+i(b-a)/2n),i,1,2n-1)+y1(b))(b-a)/(6n) § simpv(a,b,n) OENTER<br />
Wir geben wieder y1(x) =5/x ein. Um einen<br />
realistischen Vergleich mit Rechteck- und<br />
Trapezverfahren zu gestatten, werden Näherungswerte<br />
für n ¼ 5, 50 und 500 Streifen<br />
zum Integrationsintervall [1 ;5] berechnet.<br />
Der letzte Näherungswert stimmt<br />
bereits in allen angezeigten Stellen mit<br />
dem exakten Wert überein.<br />
Übung 11<br />
Berechnen Sie mithilfe des Simpson-Verfahrens<br />
folgende bestimmte Integrale näherungsweise.<br />
Verwenden Sie Taschenrechner<br />
oder Computer. Vergleichen Sie<br />
mit dem exakten Resultat. Berechnen Sie<br />
den prozentualen Fehler.<br />
ð ð<br />
1 10 pffiffiffi<br />
aÞ<br />
0 x3 dx bÞ x dx<br />
cÞ<br />
5 Streifen und 10 Streifen<br />
ð<br />
2<br />
2<br />
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
4 x 2 dx 1 Streifen, 4 Streifen<br />
0<br />
Übung 12<br />
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
Die Funktion fðxÞ¼ðx 3Þ x 2 þ 1 soll<br />
über dem Intervall ½0;3Š näherungsweise<br />
mit dem Simpson-Verfahren integriert<br />
werden.<br />
a) Skizzieren Sie den Graphen von f mithilfe<br />
einer Wertetabelle.<br />
b) Berechnen Sie die Näherungswerte des<br />
Integrals durch 2 bzw. 10 Simpson-<br />
Streifen.<br />
Übung 13<br />
Schreiben Sie einen mathematischen Aufsatz mit dem Thema: Die Grundideen und die Genauigkeiten<br />
der numerischen Näherungsverfahren für Integrale im Vergleich.
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