Download (PDF: 6.1 MB)

3. Numerische Integrationsverfahren 291
E. Das Simpson-Verfahren
259-1
Der englische Mathematiker Thomas Simpson
(1710 – 1761) entwickelte ein Näherungsverfahren,
das auf der Mehrfachanwendung der
Kepler’schen Fassregel beruhte.
Dieses Verfahren liefert schon mit geringen
Streifenzahlen sehr gute Näherungswerte. Es
wird als Simpson-Verfahren bezeichnet.
c
............................................................................
c
ð
5
5
Beispiel: Berechnen Sie das bestimmte Integral dx mithilfe des Simpson-Verfahrens
1 x
näherungsweise. Verwenden Sie als Streifenzahl n ¼ 2.
Lösung:
Wir teilen die Fläche über dem Integrationsintervall
½1;5Š in zwei Streifen ein, welche wir als Simpson-
Streifen bezeichnen. In jedem der zwei Simpson-
Streifen wird die Keplersche Fassregel angewandt.
Der Integrand wird also streifenweise durch Parabelbögen
approximiert.
Durch zweimalige Anwendung von Keplers Formel
erhalten wir dann:
Inhalt des 1: Streifens:
Inhalt des 2: Streifens:
Inhalt der Gesamtfläche:
ð 3
5
1
ð 5
5
3
x dx 3 1 fð1Þþ4 fð2Þþfð3Þ 5,555
6
y
1
f(x) = 5 x
1 2 3 4 5 x
x 0 x1 x2 x3 x4
Parabelbögen
x dx 5 3 fð3Þþ4 fð4Þþfð5Þ 2,555
6
ð 5
5
1 x dx 2 6 fð1Þþ4 fð2Þþ2 fð3Þþ4 fð4Þþfð5Þ 8,11
Anhand des Beispiels können wir problemlos die verallgemeinerte Formel für das Simpson-Verfahren
aufstellen. Wir gehen von einer Unterteilung a ¼ x 0 ,x 2 ,x 4 , ...,x 2n ¼ b des Intervalls
½a;bŠ in n Simpson-Streifen aus, deren Mittelpunkt bei x 1 ,x 3 ,x 5 , ...,x 2n 1 liegen. Dann gilt:
Näherungsformel zum Simpson-Verfahren
f sei eine auf dem Intervall ½a; bŠ stetige Funktion. Dann gilt die Näherungsformel
ð
b fðxÞdx b a
a 6n ðy 0þ4y 1 þ2y 2 þ4y 3 þ...þ2y 2n 2 þ4y 2n 1 þy 2n Þ
mit y i ¼ fðx i Þ¼f aþ i b
a
2n
,0 i 2n:
x 0
= a x 2
. . . x 2n
= b
Übung 9
Bestimmen Sie für das obige Beispiel die
Funktionsgleichungen der beiden Kepler’-
schen Näherungsparabeln explizit.
Übung 10
Errechnen Sie mit 2 Simpson-Streifen den
Inhalt der Fläche unter dem Graphen von
fðxÞ¼x 3 þ 1 über dem Intervall ½ 1;1Š.