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X. Weiterführung der Integralrechnung
D. Die Keplersche Fassregel
Der bekannte Mathematiker und weltberühmteAstronom
Johannes Kepler (1571 –1630) war ein Freund
des Weines. Eines Tages überkam ihn der Verdacht,
beim Weinkauf von den Händlern übervorteilt zu
werden, da diese den Inhalt der Weinfässer mit Messstäben
maßen, was Kepler suspekt war. Fortan beschäftigte
er sich mit Verfahren zur Berechnung des
Rauminhaltes von Fässern, und hierbei fand er auch
ein Näherungsverfahren zur Berechnung bestimmter
Integrale, die so genannte Kepler’sche Fassregel,
die eine überraschende Genauigkeit besitzt.
Die Grundidee des Kepler’schen Verfahrens ist
es,diezuintegrierendeFunktion ineinem Streifen
durch eine quadratische Parabel zu approximieren
in der Erwartung, dass diese sich der
Kurve noch besser anpassen kann als eine
Strecke wie beim Trapezverfahren.
Kepler wählte diejenige Parabel, welche durch
diedreiKurvenpunkteAundBandenStreifenenden
und M in der Streifenmitte geht.
Der Inhalt der Fläche unter dieser Parabel lässt
sich nach Keplers rechts aufgeführter Formel
errechnen, die wir aber hier nicht beweisen.
ð b
a
A
f
M
a m b
B
Keplers Idee
Die Keplersche Fassregel
b
fðxÞ dx a fðaÞþ4 fðmÞþfðbÞ
6
mit m ¼ a þ b
2
c
...............................
Beispiel: Gesucht ist der Inhalt der Fläche unter dem Graphen von fðxÞ¼sin x über dem
Intervall ½0;pŠ. Verwenden Sie zur Approximation die Kepler’sche Fassregel.
Lösung:
Wir wenden die Kepler-Formel mit a ¼ 0, b ¼ p und m ¼ p an. Wir erhalten:
2
p 0
sin x dx sin 0 þ 4 sin p 6
2 þ sin p ¼ p 6 4 ¼ 2 3 p 2,09:
ð
p
0
c Da der exakte Wert des Integrals tatsächlich 2 ist, beträgt der Fehler nur knapp 5%.
Übung 7
Die Kepler’sche Fassregel liefert für Polynomfunktionen
bis dritten Grades erstaunlicherwei-se
sogar exakte Ergebnisse.
Prüfen Sie dies an folgenden Integralen
nach.
aÞ
ð 2 x 3 dx
0
bÞ
ð 4 ð 1
ð2x 3Þ dx cÞ ðx 2 þ xÞ dx
0
0
Übung 8
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A mit
der Fassregel von Kepler.
1 y
f(x) = 2 x−x 2
A
1
x