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3. Numerische Integrationsverfahren 289
Um das Trapezverfahren für beliebige Streifenzahlen mit CAS zu verwenden, benötigen wir
eine Formel. Schon anhand der Beispiele ist leicht zu erkennen, wie eine solche Formel aussieht:
Näherungsformel zum Trapezverfahren
f sei eine auf dem Intervall I ¼½a;bŠ stetige Funktion. Dann gilt die Näherungsformel
ð
b fðxÞ dx 1 a 2 b a
n ðy 0 þ 2y 1 þ 2y 2 þ ...þ 2y n 1 þ y n Þ
mit y i ¼ fðx i Þ¼f aþ i b a , 0 i n:
n
x 0
= a x 1
x 2
. . . x n
= b
c
....................................................................................
c
Beispiel: Trapezverfahren mit CAS
Definieren Sie eine CAS-Funktion trapv(a, b, n) zum Trapezverfahren, wobei der Integrand
unter dem Funktionsterm y1(x) im Funktionseditor zu speichern ist.
Berechnen Sie dann Näherungswerte des bestimmten Integrals
ð
5
1
5
dx für n ¼ 10, 100 und
x
1000 Trapezstreifen. Vergleichen Sie mit dem Rechteckverfahren von Seite 255.
Lösung:
Die Formel des Trapezverfahrens wird in der Eingabezeile notiert und als Funktion trapv(a, b, n)
im CAS gespeichert:
(y1(a)+2 P (y1(a+i(b-a)/n),i,1,n-1)+y1(b))(b-a)/(2n) § trapv(a,b,n) OENTER
Das nebenstehende Bild zeigt im Protokollbereich
noch Teile der Formel, darunter
die Näherungswerte für n ¼ 10, 100
und 1000 Trapezstreifen zum Integrationsintervall
[1;5].
Ein Vergleich mit den Ergebnissen des
Rechteckverfahrens (S. 255) zeigt, dass
beide Verfahren etwa gleichwertig sind.
Information zur Approximationsgüte in Abhängigkeit von der Streifenzahl:
Bei Verwendung von archimedischen Untersummen oder Obersummen gewinnt man durch eine
Verzehnfachung der Streifenzahl nur eine Dezimale Genauigkeit. Beim Rechteckverfahren und
Trapezverfahren gewinnt man bei verzehnfachter Streifenzahl ca. 2 Dezimalen Genauigkeit.
Übung 5
Berechnen Sie einen Näherungswert
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
für
das bestimmte Integral 1 þ x 2 dx:
ð
1
0
a) Arbeiten Sie mit 4 Trapezstreifen und
benutzen Sie Ihren Taschenrechner.
b) Verwenden Sie n ¼ 10, 100 und 1000
Streifen unter Einsatz des Computers.
Übung 6
Errechnen Sie
den Inhalt der
rechts dargestellen
Fläche
auf ca. zwei
Nachkommastellen
genau.
y
1 f(x) = tan x
0
p/4
x