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3. Numerische Integrationsverfahren 287
Das Rechteckverfahren liefert schon für kleine Streifenanzahlen brauchbare
Näherungswerte. Das liegt daran, dass sich in der Regel schon innerhalb
eines Streifens die Fehler teilweise ausgleichen. Durch das Rechteck
nicht erfasste Flächenteile ð Þ werden durch überstehende Rechteckteile
ðþÞ grob kompensiert. Dennoch werden größere Streifenzahlen erforderlich,
wenn erhöhte Genauigkeit gewünscht wird oder das Integrationsintervall
groß ist. Dann kann der Rechenaufwand so hoch werden, dass man
programmierbare Systeme (Taschenrechner oder Computer) als Rechenhilfe
einsetzt. Eine dafür geeignete Formel stellen wir nun dar.
-
+
Fehlerausgleich
über einem
Streifen
Näherungsformel zum Rechteckverfahren
f sei eine auf dem Intervall I ¼½a;bŠ stetige Funktion. Dann gilt die Näherungsformel
ð
a
b
b
fðxÞ dx a
n ðy 0 þ y 1 þ ...þ y n 1 Þ
mit y i ¼ fðx i Þ¼f aþ i b a ,0 i n 1:
n þ b a
2n
Zum Nachweis teilen wir das Integrationsintervall I ¼½a;bŠ in Teilintervalle I 0 ,...,I n 1 ein,
die alle die gleiche Breite b a besitzen. x
n
i sei die Mitte des Teilintervalls I i .
Von a aus erreichen wir x i durch i-fache Addition der Streifenbreite b a plus einer weiteren
n
halben Streifenbreite b a
2n ,d.h.x i ¼ a þ i b a
n þ b a
2n : Die Höhe des Rechtecks über I i ist dann
y i ¼ fðx i Þ¼f aþ i b n þ b a : Die Rechteckfläche ist b a
n 2n
n
y i. Die Summe aller Rechteckflächen
ist b a
n ðy 0 þ y 1 þ ...þ y n 1 Þ. Solche Summen kann man leicht mit CAS berechnen.
Zunächst wird dem Funktionseditor des
CAS der Funktionswert übergeben, z. B.
y1(x)=5/x. Soll später eine andere Funktion
näherungsweise integriert werden, so ist
nur der Term y1 zu ändern.
Dann wird die Formel des Rechteckverfahrens
in der Eingabezeile notiert und als
Funktion rechv(a, b, n) im CAS gespeichert:
P (y1(a+i(b-a)/n+(b-a)/(2n)),i,0,n-1)(b-a)/n § rechv(a,b,n) OENTER
DasnebenstehendeBildzeigtimProtokollbereich
noch die Formel, darunter die Näherungswerte
für n ¼10, 100, 1000 Streifen
zum Integrationsintervall [1;5]. 1
Der exakte Integralwert ist 8,04718956 ...,
der letzte Näherungswert ist also bereits
auf 6 Dezimalen genau. Dies ist schon
ein beachtliches Ergebnis.
x 0
x . . .
1
x n-1
1 Man beachte, dass die Berechnung bei großer Streifenzahl n einige Zeit erfordert.