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286 X. Weiterführung der Integralrechnung c ........................................................................................ c B. Das Rechteckverfahren Das einfachste Näherungsverfahren zur beliebig genauen Approximation bestimmter Integrale ist das im Folgenden dargestellte Rechteckverfahren. Beispiel: Berechnen Sie einen Näherungswert ð 5 5 für das bestimmte Integral 1 x dx. Approximieren Sie hierzu die Fläche unter dem Graphen von f durch vier gleich breite Rechtecke, so wie rechts graphisch dargestellt. Lösung: Das Integrationsintervall hat die Breite 4. Die einzelnen Rechtecke haben daher die Breite 1. Die Rechteckshöhen sind die Funktionswerte in den Streifenmitten, also an den Stellen 1,5, 2,5, 3,5 und 4,5. Wir errechnen die Summe der vier Rechtecksinhalte. Diese beträgt 7,87. Der wirkliche Wert des bestimmten Integrals beträgt ca. 8, 05. Die Abweichung beträgt also nur ca. 2%. y 4 3 2 1 f(x) = 5 x 1 2 3 4 5 Näherungsrechnung für 4 Streifen: Rechteck Breite Höhe Inhalt 1 2 3 4 1 1 1 1 fð1,5Þ3,33 fð2,5Þ¼2 fð3,5Þ1,43 fð4,5Þ1,11 Flächensumme: 7,87 Genauer Wert des Integrals: ð 5 5 dx 8,05 1 x x 3,33 2,00 1,43 1,11 Man kann die Approximationsgenauigkeit durch eine höhere Zahl von Rechtecken steigern, wobei natürlich auch der Rechenaufwand höher wird. Im obigen Beispiel ergibt sich so mit acht Rechtecken der Breite 0,5 der Näherungswert 8. Der Fehler beträgt dann nur noch ca. 0,5%. Übung 2 Gesucht ist ein Näherungswert für das bestimmte Integral 1 2 x2 dx. ð 2 0 a) Verwenden Sie das Rechteckverfahren mit 4 gleich breiten Rechtecken. Berechnen Sie anschließend zum Vergleich den exakten Wert des Integrals. b) Führen Sie schließlich eine genauere Näherung mit 8 Rechtecken durch. Übung 3 Berechnen Sie den Inhalt der abgebildeten Fläche näherungsweise mithilfe von sechs Rechtecken. y f(x) = sin x p x
3. Numerische Integrationsverfahren 287 Das Rechteckverfahren liefert schon für kleine Streifenanzahlen brauchbare Näherungswerte. Das liegt daran, dass sich in der Regel schon innerhalb eines Streifens die Fehler teilweise ausgleichen. Durch das Rechteck nicht erfasste Flächenteile ð Þ werden durch überstehende Rechteckteile ðþÞ grob kompensiert. Dennoch werden größere Streifenzahlen erforderlich, wenn erhöhte Genauigkeit gewünscht wird oder das Integrationsintervall groß ist. Dann kann der Rechenaufwand so hoch werden, dass man programmierbare Systeme (Taschenrechner oder Computer) als Rechenhilfe einsetzt. Eine dafür geeignete Formel stellen wir nun dar. - + Fehlerausgleich über einem Streifen Näherungsformel zum Rechteckverfahren f sei eine auf dem Intervall I ¼½a;bŠ stetige Funktion. Dann gilt die Näherungsformel ð a b b fðxÞ dx a n ðy 0 þ y 1 þ ...þ y n 1 Þ mit y i ¼ fðx i Þ¼f aþ i b a ,0 i n 1: n þ b a 2n Zum Nachweis teilen wir das Integrationsintervall I ¼½a;bŠ in Teilintervalle I 0 ,...,I n 1 ein, die alle die gleiche Breite b a besitzen. x n i sei die Mitte des Teilintervalls I i . Von a aus erreichen wir x i durch i-fache Addition der Streifenbreite b a plus einer weiteren n halben Streifenbreite b a 2n ,d.h.x i ¼ a þ i b a n þ b a 2n : Die Höhe des Rechtecks über I i ist dann y i ¼ fðx i Þ¼f aþ i b n þ b a : Die Rechteckfläche ist b a n 2n n y i. Die Summe aller Rechteckflächen ist b a n ðy 0 þ y 1 þ ...þ y n 1 Þ. Solche Summen kann man leicht mit CAS berechnen. Zunächst wird dem Funktionseditor des CAS der Funktionswert übergeben, z. B. y1(x)=5/x. Soll später eine andere Funktion näherungsweise integriert werden, so ist nur der Term y1 zu ändern. Dann wird die Formel des Rechteckverfahrens in der Eingabezeile notiert und als Funktion rechv(a, b, n) im CAS gespeichert: P (y1(a+i(b-a)/n+(b-a)/(2n)),i,0,n-1)(b-a)/n § rechv(a,b,n) OENTER DasnebenstehendeBildzeigtimProtokollbereich noch die Formel, darunter die Näherungswerte für n ¼10, 100, 1000 Streifen zum Integrationsintervall [1;5]. 1 Der exakte Integralwert ist 8,04718956 ..., der letzte Näherungswert ist also bereits auf 6 Dezimalen genau. Dies ist schon ein beachtliches Ergebnis. x 0 x . . . 1 x n-1 1 Man beachte, dass die Berechnung bei großer Streifenzahl n einige Zeit erfordert.
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X. Weiterführung der Integralrechnung<br />
c<br />
........................................................................................<br />
c<br />
B. Das Rechteckverfahren<br />
Das einfachste Näherungsverfahren zur beliebig genauen Approximation bestimmter Integrale<br />
ist das im Folgenden dargestellte Rechteckverfahren.<br />
Beispiel:<br />
Berechnen Sie einen Näherungswert ð<br />
5 5<br />
für das bestimmte Integral<br />
1 x dx.<br />
Approximieren Sie hierzu die Fläche<br />
unter dem Graphen von f durch vier<br />
gleich breite Rechtecke, so wie<br />
rechts graphisch dargestellt.<br />
Lösung:<br />
Das Integrationsintervall hat die Breite 4.<br />
Die einzelnen Rechtecke haben daher die<br />
Breite 1.<br />
Die Rechteckshöhen sind die Funktionswerte<br />
in den Streifenmitten, also an den<br />
Stellen 1,5, 2,5, 3,5 und 4,5.<br />
Wir errechnen die Summe der vier Rechtecksinhalte.<br />
Diese beträgt 7,87.<br />
Der wirkliche Wert des bestimmten Integrals<br />
beträgt ca. 8, 05. Die Abweichung<br />
beträgt also nur ca. 2%.<br />
y<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
f(x) = 5 x<br />
1 2 3 4 5<br />
Näherungsrechnung für 4 Streifen:<br />
Rechteck Breite Höhe Inhalt<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
fð1,5Þ3,33<br />
fð2,5Þ¼2<br />
fð3,5Þ1,43<br />
fð4,5Þ1,11<br />
Flächensumme: 7,87<br />
Genauer Wert des Integrals:<br />
ð<br />
5<br />
5<br />
dx 8,05<br />
1 x<br />
x<br />
3,33<br />
2,00<br />
1,43<br />
1,11<br />
Man kann die Approximationsgenauigkeit durch eine höhere Zahl von Rechtecken steigern,<br />
wobei natürlich auch der Rechenaufwand höher wird. Im obigen Beispiel ergibt sich so mit acht<br />
Rechtecken der Breite 0,5 der Näherungswert 8. Der Fehler beträgt dann nur noch ca. 0,5%.<br />
Übung 2<br />
Gesucht ist ein Näherungswert für das bestimmte<br />
Integral<br />
1<br />
2 x2 dx.<br />
ð<br />
2<br />
0<br />
a) Verwenden Sie das Rechteckverfahren<br />
mit 4 gleich breiten Rechtecken.<br />
Berechnen Sie anschließend zum Vergleich<br />
den exakten Wert des Integrals.<br />
b) Führen Sie schließlich eine genauere<br />
Näherung mit 8 Rechtecken durch.<br />
Übung 3<br />
Berechnen Sie den Inhalt der abgebildeten<br />
Fläche näherungsweise mithilfe von<br />
sechs Rechtecken.<br />
y<br />
f(x) =<br />
sin x<br />
p<br />
x
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