Download (PDF: 6.1 MB)

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

284 X. Weiterführung der Integralrechnung 3. Numerische Integrationsverfahren Flächeninhalte und bestimmte Integrale können oft mithilfe exakter Integrationsmethoden errechnet werden. Allerdings gibt es auch Fälle, in denen dies nicht möglich oder unpraktisch ist: 1. Der Integrand besitzt keine geschlossen darstellbaren Stammfunktionen. 2. Die Stammfunktionen des Integranden sind schwierig zu bestimmen. 3. Die Randkurve einer Fläche ist nicht durch eine mathematische Funktionsgleichung gegeben, sondern nur zeichnerisch oder durch Messwerte definiert. In solchen Fällen gibt es stets die Möglichkeit, das gesuchte bestimmte Integral wenigstens näherungsweise zu bestimmen. Man spricht von numerischer Integration. Alle numerischen Integrationsverfahren ähneln dem Archimedischen Streifenverfahren. Wir stellen die verschiedenen Verfahren zunächst im Überblick dar. Details werden später behandelt. 1. Die Streifenmessung Über die Fläche wird ein Raster gleich breiter Streifen gelegt. Die Schnitte der Streifenmittellinien mit der Fläche definieren Rechteckshöhen, die ausgemessen werden. Die Rechtecksinhalte werden berechnet und aufsummiert. Das Verfahren ist stets anwendbar. Die Genauigkeit ist durch die zugrunde liegende Zeichnung begrenzt. 2. Das Rechteckverfahren Die Fläche unter einem Funktionsgraphen wird in Streifen eingeteilt. Die Streifenmittellinien stellen Rechteckshöhen dar, die als Funktionswerte berechnet werden können. Je größer die Streifenanzahl, umso genauer approximieren die Rechtecksflächen die Fläche unter dem Graphen. y x 3. Das Trapezverfahren Die Fläche unter einem Graphen wird wiederum in Streifen geteilt. Die Schnittpunkte der Streifenbegrenzungslinien mit dem Graphen werden geradlinig miteinander verbunden, so dass Trapeze entstehen, deren Flächeninhalte aufsummiert werden. Das Verfahren ist ähnlich genau wie das Rechteckverfahren. y x 4. Parabel-Verfahren Die Schnittpunkte der beiden Streifenbegrenzungen und der Streifenmittellinie mit dem Graphen legen jeweils einen Parabelbogen fest. Die Flächeninhalte unter den Parabelbögen werden durch Integration bestimmt und aufsummiert. Das Verfahren ist wesentlich genauer als die drei oben charakterisierten Verfahren. y Parabel Parabel Parabel x
3. Numerische Integrationsverfahren 285 A. Die Streifenmessung – eine Praxismethode Ein Maler benötigt für die Bestimmung seines Materialbedarfs den Flächeninhalt einer Wand, ein Glaser kalkuliert die Glasfläche eines Wintergartens, ein Straßenbauer schätzt die Größe der Pflasterfläche eines Platzes ab. Für solche Flächeninhaltsbestimmungen genügen in den meisten Fällen einfache Rechtecksoder Dreiecksberechnungen. Sind die Flächen jedoch krummlinig begrenzt, so funktioniert das nicht mehr. Man kann dann folgende Methode der Streifenmessung anwenden, die zwar vergleichsweise primitiv erscheinen mag, aber universal einsetzbar ist. c ................................................................................................................ c Beispiel: Der Mitarbeiter einer Werbeagentur soll eine Broschüre über einen neuen Landschaftspark erstellen. Hierfür benötigt er den Oberflächeninhalt eines Sees, von dem nur eine maßstäbliche Architektenzeichnung vorliegt. Wie könnte er vorgehen? Lösung: Er zeichnet ein Streifenraster über die Karte. Er könnte auch eine Folie nehmen, um eineBeschädigungderKartezuvermeiden. Alle Streifen sind gleich breit, in unserem Beispiel wählte er die Breite von 0,9 cm. Nun markiert er die Schnittpunkte der Streifenmittellinien mit dem Seerand. Durch diese Punkte sind in den Streifen Rechtecke festgelegt, deren Flächeninhalte ein Näherungsmaß für die im jeweiligen Streifen liegende Seefläche ergeben. Die Rechteckshöhen werden mit dem Lineal gemessen und mit der Streifenbreite multipliziert. Die Summe aller Rechtecksinhalte approximiert den Flächeninhalt des Bildes des Sees auf der Karte. Durch eine Maßstabsumrechnung ergibt sich das reale Flächenmaß des Sees, in unserem Beispiel ca. 105300 m 2 . Übung 1 Eine Mikrobe wurde bei 2000facher Vergrößerung fotografiert. Bestimmen Sie einen Näherungswert für ihren Flächeninhalt. Hinweis: Der Vergrößerungsfaktor beim Mikroskop gibt an, wie stark die beobachtete Fläche vergrößert wird. M = 1 : 10000 Rechteck Nr. 1 2 3 4 5 6 Breite in cm 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 Höhe in cm 1,0 1,9 2,4 2,7 2,4 1,3 1cm ^¼10000cm ¼ 100 m 1cm 2 ^¼ð100mÞ 2 ¼ 10000m 2 10,53cm 2 ^¼105300m 2 S Fläche in cm 2 0,90 1,71 2,16 2,43 2,16 1,17 10,53 N
Seite 1 und 2:
Bigalke / Köhler Mathematik Gymnas
Seite 3 und 4:
VII. Integrationsmethoden y Im Kapi
Seite 5 und 6:
1. Die Produktintegration 177 c ...
Seite 7 und 8:
1. Die Produktintegration 179 Übun
Seite 9 und 10: 1. 2. Die Produktintegration Substi
Seite 17 und 18: VII. Integrationsmethoden 189 Über
Seite 19 und 20: IX. Logarithmusfunktionen y In dies
Seite 21 und 22: 1. Die Differentiation der Umkehrfu
Seite 23 und 24: 1. 2. Die Differentiation natürlic
Seite 25 und 26: Wie Euler Logarithmen berechnete 24
Seite 27 und 28: 3. Die Ableitung von fðxÞ¼ln x 2
Seite 29 und 30: 3. Die Ableitung von fðxÞ¼ln x 2
Seite 31 und 32: 3. 4. Die Elementare Ableitung Funk
Seite 33 und 34: 3. 4. Die Elementare Ableitung Funk
Seite 35 und 36: 3. 5. Die Kurvendiskussionen Ableit
Seite 45 und 46: IX. Logarithmusfunktion 269 Überbl
Seite 47 und 48: X. Weiterführung der Integralrechn
Seite 49 und 50: 1. Das Volumen von Rotationskörper
Seite 55 und 56: 2. Uneigentliche Integrale 279 Im o
Seite 57 und 58: 2. Uneigentliche Integrale 281 Typ
Seite 59: 2. Uneigentliche Integrale 283 Übu
Seite 63 und 64: 3. Numerische Integrationsverfahren
Seite 71 und 72: 3. X. Numerische Weiterführung Int
Seite 73 und 74: XIV. Skalarprodukt und Vektorproduk
Seite 75 und 76: 5. Das Vektorprodukt 391 c ........
Seite 77 und 78: 5. Das Vektorprodukt 393 C. Exkurs:
Seite 79 und 80: 5. Das Vektorprodukt 395 Übungen 1
Seite 81 und 82: XIV. 5. DasSkalarprodukt Vektorprod
Seite 83 und 84: XVII. Kugeln Auch Kugeln im Raum k
Seite 85 und 86: 1. Kugelgleichungen 467 c .........
Seite 87 und 88: 2. Kugeln, Geraden und Ebenen 469 2
Seite 89 und 90: 2. Kugeln, Geraden und Ebenen 471 .
Seite 91 und 92: 2. Kugeln, Geraden und Ebenen 473 .
Seite 97 und 98: 2. XVII. Kugeln, Kugeln Geraden und
Seite 99 und 100: XXII. Die Normalverteilung Die wich
Seite 101 und 102: 1. Die Normalverteilung 601 Wird de
Seite 103 und 104: 1. Die Normalverteilung 603 c .....
Seite 105 und 106: 1. Die Normalverteilung 605 Möchte
Seite 107 und 108: 2. Anwendung der Normalverteilung 6
Seite 109 und 110: 2. Anwendung der Normalverteilung 6
Seite 111 und 112:
2. Anwendung der Normalverteilung 6
Seite 113 und 114:
2. XXII. Anwendung Die Normalvertei
Seite 115 und 116:
Tabellen zur Stochastik 715 Tabelle
Alle anzeigen

Download (PDF: 6.1 MB)

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?