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X. Weiterführung der Integralrechnung
3. Numerische Integrationsverfahren
Flächeninhalte und bestimmte Integrale können oft mithilfe exakter Integrationsmethoden errechnet
werden. Allerdings gibt es auch Fälle, in denen dies nicht möglich oder unpraktisch ist:
1. Der Integrand besitzt keine geschlossen darstellbaren Stammfunktionen.
2. Die Stammfunktionen des Integranden sind schwierig zu bestimmen.
3. Die Randkurve einer Fläche ist nicht durch eine mathematische Funktionsgleichung gegeben,
sondern nur zeichnerisch oder durch Messwerte definiert.
In solchen Fällen gibt es stets die Möglichkeit, das gesuchte bestimmte Integral wenigstens
näherungsweise zu bestimmen. Man spricht von numerischer Integration.
Alle numerischen Integrationsverfahren ähneln dem Archimedischen Streifenverfahren. Wir
stellen die verschiedenen Verfahren zunächst im Überblick dar. Details werden später behandelt.
1. Die Streifenmessung
Über die Fläche wird ein Raster gleich breiter Streifen gelegt.
Die Schnitte der Streifenmittellinien mit der Fläche definieren
Rechteckshöhen, die ausgemessen werden. Die Rechtecksinhalte
werden berechnet und aufsummiert.
Das Verfahren ist stets anwendbar. Die Genauigkeit ist durch
die zugrunde liegende Zeichnung begrenzt.
2. Das Rechteckverfahren
Die Fläche unter einem Funktionsgraphen wird in Streifen
eingeteilt. Die Streifenmittellinien stellen Rechteckshöhen
dar, die als Funktionswerte berechnet werden können.
Je größer die Streifenanzahl, umso genauer approximieren die
Rechtecksflächen die Fläche unter dem Graphen.
y
x
3. Das Trapezverfahren
Die Fläche unter einem Graphen wird wiederum in Streifen
geteilt. Die Schnittpunkte der Streifenbegrenzungslinien mit
dem Graphen werden geradlinig miteinander verbunden, so
dass Trapeze entstehen, deren Flächeninhalte aufsummiert
werden.
Das Verfahren ist ähnlich genau wie das Rechteckverfahren.
y
x
4. Parabel-Verfahren
Die Schnittpunkte der beiden Streifenbegrenzungen und der
Streifenmittellinie mit dem Graphen legen jeweils einen Parabelbogen
fest. Die Flächeninhalte unter den Parabelbögen
werden durch Integration bestimmt und aufsummiert. Das
Verfahren ist wesentlich genauer als die drei oben charakterisierten
Verfahren.
y
Parabel
Parabel
Parabel
x