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VII. Integrationsmethoden
c
............................................................... ....................................................................................
c
c
c
Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral
ð
cos 2 x dx.
Lösung:
Produktintegration des Ausgangsintegrals:
ð
ð
ð
ð
cos 2 xdx= cos x ·cos x dx = sin x·cos x – sin x ·(– sin x) dx = sin x ·cos x + sin 2 x dx.
u 0 v u v u v 0
Man gewinnt den Eindruck, dass die Produktintegration nicht weiterführt. Das Integral auf der
rechten Seite ist anscheinend genauso kompliziert wie das Ausgangsintegral. Wendet man allerdings
den trigonometrischen Pythagoras an, so entsteht rechtsseitig das Ausgangsintegral wieder:
ð
ð
ð
cos 2 x dx = sin x ·cos x · (1 – cos 2 x) dx = sin x ·cos x + x – cos 2 x dx.
Auflösen nach dem Ausgangsintegral liefert das Resultat:
ð
2 cos 2 x dx = x + sin x ·cos x + C und somit
ð
cos 2 xdx = 1 (x + sin x ·cos x) + C.
2
Mithilfe der Produktintegration können Rekursionsformeln ermittelt werden.
Beispiel: Weisen Sie die folgende Rekursionsformel nach:
ð
ð
x n sin x dx ¼ –x n cos x + n x n–1 cos x dx
Lösung:
Produktintegration des Ausgangsintegrals:
ð
x n sin x dx ¼ –x n cos x +
ð
nx n–1 cos x dx
u v 0 u v u 0 v
ð
¼ –x n cos x + n x n–1 cos x dx
ðn 2 NÞ.
ð
Das Restintegral x n–1 cos x dx ist von demselben Typ wie das Ausgangsintegral, allerdings
von niedrigerer Ordnung.
Übung 1
Weisen Sie die folgende Rekursionsformel nach:
ð
ð
x n cos x dx ¼ x n sinx – n x n–1 sinx dx
ðn 2 NÞ.