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282 X. Weiterführung der Integralrechnung Definition X.2: Ist die Funktion f an der Stelle a nicht definiert, aber auf dem Intervall Ša;bŠ stetig und existiert der Grenzwert lim k!a ð b k ð b a fðxÞdx, so definiert man diesen Grenzwert als uneigentliches Integral von f über Ša;bŠ und schreibt fðxÞdx. Analog definiert man ein uneigentliches Integral, wenn die Funktion f an der oberen Integrationsgrenze nicht definiert ist. Im folgenden Beispiel berechnen wir exemplarisch den Inhalt einer auf beiden Seiten unbegrenzten Fläche. c ...................................................................................................... c Beispiel: Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die der Graph der Funktion fðxÞ¼pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 mit der x-Achse über 1 x 2 dem Intervall ½ 1;1Š einschließt. Lösung: Die Funktion f ist sowohl für x ¼ 1 als auch für x ¼ 1 nicht definiert. Es gilt: lim fðxÞ¼1und lim fðxÞ¼1. x! 1 x!1 Daher ist die Fläche A an beiden Rändern unbegrenzt. Mit Hilfe der mit Substitution ermittelten Stammfunktion von f berechnen wir zunächst den Inhalt der Fläche unter f (vgl. Band 1, S. 273) über dem Intervall ½a;bŠ mit 1 < a < b < 1. Den Inhalt der gesuchten Fläche A erhalten wir dann als Grenzwert. Hierzu müssen wir zwei Grenzprozesse nacheinander durchführen, für b ! 1 und für a ! 1, wobei die Reihenfolge der Grenzwertbildung keine Rolle spielt. Wir erhalten als Resultat für den gesuchten Flächeninhalt schließlich A ¼ p. y 1 A -1 a b 1 1. Inhalt der Fläche A über [a; b]: ð b a ð b fðxÞdx ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 x 2 a ¼ arcsin b f dx ¼½arcsin xŠ b a arcsin a 2. Grenzwertbestimmung: lim b!1 ð b a lim a! 1 fðxÞdx ¼ lim b!1 ðarcsin b arcsin aÞ p 2 ¼ p 2 arcsin a arcsin a ¼ p 2 p 2 ¼ p x Übung 3 Berechnen Sie, sofern existent, die folgenden uneigentlichen Integrale. aÞ ð 1 3 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x þ 3 p dx bÞ ð 4 2 1 ðx 4Þ 2 dx cÞ ð 1 0 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 1 x 2 p dx dÞ ð1 0 1 x 2 dx
2. Uneigentliche Integrale 283 Übungen 4. Berechnen Sie, sofern sie existieren, die folgenden uneigentlichen Integrale. ð1 aÞ 4x 6 dx 2 bÞ ð1 1 2 3p ffiffi dx cÞ x ð 2 1 1 ðx þ 1Þ 2 dx ð 1 ð 1 ð1 dÞ x 2 þ 1 2x dx eÞ 4 5 x dx fÞ dx x 3 x 4 ð4 þ x 2 Þ 2 1 1 2 5. a) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die sich – begrenzt vom Graphen der Funktion fðxÞ¼ 1 8 x2 , vom Graphen der Funktion gðxÞ¼ 2 und von der x-Achse – längs der ðx 3Þ 2 positiven x-Achse ins Unendliche erstreckt. b) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die sich – begrenzt vom Graphen der Funktion fðxÞ¼1,5x 2 , vom Graphen der Funktion gðxÞ¼0,5x 2 þ 1 und von der x-Achse – längs der positiven x-Achse ins Unendliche erstreckt. c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die rechts von x ¼ 2 zwischen den Graphen der Funktionen fðxÞ¼ 1 und gðxÞ¼ 1 liegt. Fertigen Sie zunächst eine Skizze an. x 3 x 2 6. Berechnen Sie, sofern sie existieren, die folgenden uneigentlichen Integrale. aÞ ð 1 0 x þ p 1 ffiffi dx x bÞ 7. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ cosx x a) Zeigen Sie, dass FðxÞ¼ sin x x ð p 2 ð p 2 1 cos 2 x dx cÞ sin 2x 0 0 sinx x 2 : b) Berechnen Sie das uneigentliche Integral cosx dx dÞ ð 9 0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 9 x für 0 < x < p eine Stammfunktion von f ist. 2 ð p 2 0 fðxÞdx. 8. Überprüfen Sie, ob die folgende Rechnung richtig ist: dx h i 0 1 1 dx ¼ ðx þ 1Þ 2 x þ 1 ¼ 1 1 4 ð 0 4 3 ¼ 4 3 9. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ 1 : 1 þ x 2 a) Skizzieren Sie den Graphen von f mithilfe einer Wertetabelle für 3 x 3. b) Bestimmen Sie mithilfe der Substitution x ¼ tan z eine Stammfunktion von f. c) Berechnen Sie das uneigentliche Integral ð1 1 fðxÞdx.
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2. Uneigentliche Integrale 283<br />
Übungen<br />
4. Berechnen Sie, sofern sie existieren, die folgenden uneigentlichen Integrale.<br />
ð1<br />
aÞ 4x 6 dx<br />
2<br />
bÞ<br />
ð1<br />
1<br />
2<br />
3p ffiffi dx cÞ<br />
x<br />
ð 2 1<br />
1<br />
ðx þ 1Þ 2 dx<br />
ð 1 <br />
ð 1 ð1<br />
dÞ x 2 þ 1 2x<br />
dx<br />
eÞ<br />
4 5<br />
x<br />
dx fÞ dx<br />
x 3<br />
x 4 ð4 þ x 2 Þ 2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
5. a) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die sich – begrenzt vom Graphen der Funktion<br />
fðxÞ¼ 1 8 x2 , vom Graphen der Funktion gðxÞ¼ 2 und von der x-Achse – längs der<br />
ðx 3Þ 2<br />
positiven x-Achse ins Unendliche erstreckt.<br />
b) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die sich – begrenzt vom Graphen der Funktion<br />
fðxÞ¼1,5x 2 , vom Graphen der Funktion gðxÞ¼0,5x 2 þ 1 und von der x-Achse – längs<br />
der positiven x-Achse ins Unendliche erstreckt.<br />
c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die rechts von x ¼ 2 zwischen den Graphen der<br />
Funktionen fðxÞ¼ 1 und gðxÞ¼ 1 liegt. Fertigen Sie zunächst eine Skizze an.<br />
x 3 x 2<br />
6. Berechnen Sie, sofern sie existieren, die folgenden uneigentlichen Integrale.<br />
aÞ<br />
ð 1 0<br />
<br />
x þ p<br />
1 ffiffi dx<br />
x<br />
bÞ<br />
7. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ cosx<br />
x<br />
a) Zeigen Sie, dass FðxÞ¼ sin x<br />
x<br />
ð p 2<br />
ð p 2<br />
1<br />
cos 2 x dx cÞ sin 2x<br />
0<br />
0<br />
sinx<br />
x 2 :<br />
b) Berechnen Sie das uneigentliche Integral<br />
cosx dx dÞ ð 9 0<br />
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
x<br />
9 x<br />
für 0 < x < p eine Stammfunktion von f ist.<br />
2<br />
ð p 2<br />
0<br />
fðxÞdx.<br />
8. Überprüfen Sie, ob die folgende Rechnung richtig ist:<br />
dx<br />
h i 0<br />
1<br />
1<br />
dx ¼<br />
ðx þ 1Þ 2 x þ 1<br />
¼ 1 1<br />
4<br />
ð 0 4<br />
3 ¼ 4 3<br />
9. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ 1 :<br />
1 þ x 2<br />
a) Skizzieren Sie den Graphen von f mithilfe einer Wertetabelle für 3 x 3.<br />
b) Bestimmen Sie mithilfe der Substitution x ¼ tan z eine Stammfunktion von f.<br />
c) Berechnen Sie das uneigentliche Integral<br />
ð1<br />
1<br />
fðxÞdx.
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