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X. Weiterführung der Integralrechnung
Definition X.2: Ist die Funktion f an der Stelle a nicht definiert, aber auf dem Intervall Ša;bŠ
stetig und existiert der Grenzwert lim
k!a
ð b k
ð b a
fðxÞdx, so definiert man diesen Grenzwert als uneigentliches
Integral von f über Ša;bŠ und schreibt
fðxÞdx.
Analog definiert man ein uneigentliches Integral, wenn die Funktion f an der oberen Integrationsgrenze
nicht definiert ist.
Im folgenden Beispiel berechnen wir exemplarisch den Inhalt einer auf beiden Seiten unbegrenzten
Fläche.
c
......................................................................................................
c
Beispiel: Berechnen Sie den Inhalt der
Fläche A, die der Graph der Funktion
fðxÞ¼pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 mit der x-Achse über
1 x 2
dem Intervall ½ 1;1Š einschließt.
Lösung:
Die Funktion f ist sowohl für x ¼ 1 als
auch für x ¼ 1 nicht definiert. Es gilt:
lim fðxÞ¼1und lim fðxÞ¼1.
x! 1 x!1
Daher ist die Fläche A an beiden Rändern
unbegrenzt. Mit Hilfe der mit Substitution
ermittelten Stammfunktion von f berechnen
wir zunächst den Inhalt der Fläche
unter f (vgl. Band 1, S. 273) über dem Intervall
½a;bŠ mit 1 < a < b < 1.
Den Inhalt der gesuchten Fläche A erhalten
wir dann als Grenzwert. Hierzu müssen
wir zwei Grenzprozesse nacheinander
durchführen, für b ! 1 und für a ! 1,
wobei die Reihenfolge der Grenzwertbildung
keine Rolle spielt.
Wir erhalten als Resultat für den gesuchten
Flächeninhalt schließlich A ¼ p.
y
1
A
-1 a b 1
1. Inhalt der Fläche A über [a; b]:
ð b a
ð b
fðxÞdx ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
1 x 2
a
¼ arcsin b
f
dx ¼½arcsin xŠ b a
arcsin a
2. Grenzwertbestimmung:
lim
b!1
ð b a
lim
a! 1
fðxÞdx ¼ lim
b!1
ðarcsin b arcsin aÞ
p
2
¼ p 2
arcsin a
arcsin a
¼ p 2
p
2
¼ p
x
Übung 3
Berechnen Sie, sofern existent, die folgenden uneigentlichen Integrale.
aÞ
ð 1 3
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
x þ 3
p dx bÞ
ð 4 2
1
ðx 4Þ 2 dx cÞ
ð 1 0
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
1 x 2
p dx dÞ
ð1
0
1
x 2 dx