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2. Uneigentliche Integrale 281
Typ 2: Integral einer unbeschränkten Funktion
Bisher haben wir ins Unendliche ausgedehnte Flächen betrachtet, die als bestimmte Integrale
über unbeschränkten Intervallen darstellbar waren. Das folgende Beispiel zeigt, dass ins Unendliche
ausgedehnte Flächen bei bestimmten Funktionen auch in anderen Zusammenhängen
auftreten können.
c
....................................................................................................................
Beispiel: Berechnen Sie den Inhalt der
Fläche A, die vom Graphen der Funktion
fðxÞ¼p 1 ffiffi x
, von der Geraden x ¼ 2
und der x-Achse im 1. Quadranten begrenzt
wird.
Lösung:
Die Funktion f ist für x ¼ 0 nicht definiert.
Es gilt: lim p ¼1.
1 ffiffi
x!0 x
Die Fläche A dehnt sich also „nach oben“
bis ins Unendliche aus, da f in der Nähe
von 0 unbeschränkt ist. Um deren Flächeninhalt
zu untersuchen, gehen wir prinzipiell
wie in den obigen Beispielen mittels
Grenzwertbestimmung vor. Als erstes berechnen
wir den Inhalt der Fläche AðkÞ unter
dem Graphen von f über einem beliebigen
Intervall ½k;2Š mit 0 < k < 2.
Lassen wir nun die untere Grenze der Fläche
AðkÞ „nach links wandern“, so dehnt
sich die Fläche immer weiter aus. Der Inhalt
der Fläche A ergibt sich dann als
Grenzwert des Flächeninhalts AðkÞ für
k ! 0.
p
c Resultat: A ¼ 2
ffiffi
2
y
2
1
k
A
x = 2
1 2
1. Der Inhalt der Fläche A(k):
ð 2 ð 2
AðkÞ¼ fðxÞdx ¼ p
1 ffiffi dx
x
k
k
p
¼ ½2
ffiffi xŠ 2 k ¼ 2 p ffiffi pffiffi
2 2 k
2. Der Inhalt der Fläche A(k) für k!0:
lim AðkÞ¼lim
k!0 k!0
ð 2 k
fðxÞdx
p
¼ lim ð2 ffiffiffi pffiffiffi
2 2 k Þ¼2
k!0
x
p
ffiffi
2
Im obigen Beispiel konnten wir nicht direkt
das Integral von 0 bis 1 bilden, da die
Funktion f bei x ¼ 0 nicht definiert, sondern
dort unbeschränkt ist. Auch in diesem
Fall kann man den errechneten Grenzwert
als uneigentliches Integral bezeichnen
und hierfür die nebenstehende Schreibweise
verwenden.
Uneigentliches Integral:
ð 2 ð 2
A ¼ fðxÞdx ¼ lim fðxÞdx
k!0
0
k
ð 2 p
¼ lim p
1 ffiffi dx ¼ 2 ffiffi
2
k!0 x
k