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X. Weiterführung der Integralrechnung
Das folgende Beispiel zeigt die prinzipielle Vorgehensweise bei der Untersuchung des Inhalts
von Flächen, die sich bis ins Unendliche ausdehnen.
c
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Beispiel: Bestimmen Sie den Inhalt
der Fläche A, die sich – begrenzt vom
Graphen der Funktion fðxÞ¼x 2 , vom
Graphen der Funktion gðxÞ¼ 1 und
x 2
von der x-Achse – längs der positiven
x-Achse ins Unendliche erstreckt.
Lösung:
1. Schnittpunktbestimmung:
Wir bestimmen als erstes die Schnittstelle
von f und g. Im 1. Quadranten finden wir
die Schnittstelle bei x ¼ 1. Wir zerlegen
die gesuchte Fläche A in zwei Teilflächen
A 1 und A 2 .
2. Der Inhalt der Fläche A 1 :
A 1 ist die Fläche unter fðxÞ¼x 2 über dem
Intervall ½0;1Š, die wir in gewohnter Weise
berechnen können.
3. Der Inhalt der Fläche A 2 (k):
Wir bestimmen nun den Inhalt der Fläche
A 2 ðkÞ unter dem Graphen von f über einem
beliebigen Intervall ½1;kŠðk > 1Þ.
4. Der Inhalt von A 2 (k) für k !1:
Lassen wir die obere Grenze der Fläche
A 2 ðkÞ, also den Parameter k, weiter nach
rechts wandern, so dehnt sich die Fläche
immer weiter aus.
Allerdings wächst der Inhalt nicht über
alle Grenzen, sondern er nähert sich immer
mehr der Zahl 1: lim
k!1
A 2 ðkÞ¼1.
5. Der Inhalt von A:
Der Inhalt von A ist die Summe der Inhalte
von A 1 und A 2 .
y
1
g
1
f
A 1 A 2
fðxÞ¼gðxÞ
x 2 ¼ 1 x 2
x 4 ¼ 1
x ¼ 1; x ¼ 1
ð 1 h i 1
A 1 ¼ x 2 dx ¼ 1 3 x3 ¼ 1 0 3
0
ð k h i k
1
1
A 2 ðkÞ¼ dx ¼
x 2 x
¼ 1 1
1 k
1
ð k
lim A 1
2ðkÞ¼ lim dx
k!1 k!1 x 2
1
1
¼ lim 1
k!1 k
k
¼ 1
A ¼ A 1 þ lim
k!1
A 2 ðkÞ¼ 1 3 þ 1 ¼ 4 3
c Resultat: A ¼ 4 3 < 1
280-1
Übung 2
Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die sich – begrenzt von den Graphen von fðxÞ¼ 1 3 x und
gðxÞ¼ 1 und von der x-Achse – längs der positiven x-Achse ins Unendliche erstreckt.
ðx 2Þ 2
x