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278 X. Weiterführung der Integralrechnung 2. Uneigentliche Integrale In diesem Abschnitt werden wir den Inhalt von Flächen untersuchen, die unbegrenzt sind und sich bis ins Unendliche ausdehnen. Typ 1: Integral über einem unbeschränkten Intervall c .............................................................................................................................................. c Beispiel: Der Graph von fðxÞ¼ 1 x 3 , die Gerade x ¼ 1, die x-Achse und die Gerade x ¼ k mit k > 1 schließen eine Fläche ein. a) Berechnen Sie deren Inhalt AðkÞ in Abhängigkeit von k. b) Untersuchen Sie das Grenzwertverhalten des Flächeninhalts AðkÞ für k !1. Lösung zu a: 1. Stammfunktion: Wir bestimmen zunächst eine Stammfunktion von f. 2. Flächeninhaltsbestimmung: Der gesuchte Flächeninhalt kann nun als bestimmen Integral von f über dem Intervall ½1;kŠðk > 1Þ berechnet werden. Resultat: AðkÞ¼ 1 2 1 2k 2 zu b: Verhalten von A(k) für k !1: Mit zunehmendem k wandert die Gerade x ¼ k weiter nach rechts, und die Fläche AðkÞ dehnt sich immer weiter aus. Für k !1erstreckt sich die Fläche bis ins Unendliche. Man könnte vermuten, dass diese unendlich ausgedehnte Fläche einen unendlich großen Flächeninhalt hat. Dass dies nicht so ist, können wir durch Grenzwertbestimmung nachweisen. Der Inhalt der Fläche wächst nicht über alle Grenzen, sondern nähert sich überraschenderweise immer mehr der Zahl 0,5. y x = 1 x = k 1 fðxÞ¼ 1 x 3 FðxÞ¼ 1 2x 2 ð k 1 AðkÞ¼ dx ¼ FðkÞ x 3 1 ¼ 1 þ 1 2k 2 2 1 ¼ 1 2 Grenzwertbestimmung: ð k 1 lim AðkÞ¼ lim dx k!1 k!1 x 3 1 1 ¼ lim k!1 2 1 1 2k 2 ¼ 1 2 Fð1Þ 1 2k 2 f(x) = 1 x 3 x Unser Beispiel zeigt, dass auch Flächen, die nicht nach allen Seiten durch Randkurven begrenzt sind, sondern sich bis in alle Unendlichkeit erstrecken, unter bestimmten Umständen durchaus einen (endlichen) Flächeninhalt haben können.
2. Uneigentliche Integrale 279 Im obigen Beispiel haben wir die obere Grenze der Fläche AðkÞ, also den Parameter k, weiter nach rechts wandern lassen und den Grenzwert bestimmt. Man bezeichnet diesen grenzwert auch als uneigentliches Integral von f über ½1;1½. Uneigentliches Integral: ð1 ð1 1 fðxÞdx ¼ 1 1 x 3 dx ¼ lim k!1 ð k 1 1 x 3 dx ¼ 1 2 Definition X.1: Ist die Funktion f auf einem Intervall ½a; 1½ stetig und existiert der Grenzwert ð k lim k!1 a fðxÞdx, dann definiert man diesen Grenzwert als uneigentliches Integral von f über ½a; 1½ und schreibt hierfür ð1 a fðxÞdx. Existiert der Grenzwert nicht, so sagt man, dass das uneigentliche Integral nicht existiert. ð b Das uneigentliche Integral fðxÞdx wird in analoger Weise definiert. 1 Wir erläutern nun die Vorgehensweise zur Bestimmung eines uneigentlichen Integrals. c ....................................................... c Beispiel: Berechnen Sie, sofern es existiert, das uneigentliche Integral Lösung: Zunächst schreiben wir das uneigentliche Integral als Grenzwert eines bestimmten Integrals und berechnen dieses für eine beliebige obere Grenze k mit k > 2. Anschließend lassen wir die obere Grenze k über alle Grenzen wachsen, d. h., wir bestimmen den Grenzwert des bestimmten Integrals für k !1. Dieser Grenzwert ist, sofern er existiert, das gesuchte uneigentliche Integral. ð1 4 2 x 2 dx ¼ lim k!1 ð k 2 4 x 2 dx ð1 4 2 x 2 dx. h i k 4 ¼ lim k!1 x 2 4 ¼ lim k!1 k þ 2 ¼ 2 Übung 1 Berechnen Sie, sofern sie existieren, die folgenden uneigentlichen Integrale. ð1 aÞ 8x 5 dx 2 bÞ ð1 1 ffiffi x 1 p dx cÞ ð 0 1 1 ð4 xÞ 3 dx dÞ ð 2 1 x þ 1 x 4 dx
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2. Uneigentliche Integrale 279<br />
Im obigen Beispiel haben wir die obere<br />
Grenze der Fläche AðkÞ, also den Parameter<br />
k, weiter nach rechts wandern lassen<br />
und den Grenzwert bestimmt. Man<br />
bezeichnet diesen grenzwert auch als uneigentliches<br />
Integral von f über ½1;1½.<br />
Uneigentliches Integral:<br />
ð1 ð1<br />
1<br />
fðxÞdx ¼<br />
1<br />
1<br />
x 3 dx ¼ lim<br />
k!1<br />
ð k 1<br />
1<br />
x 3 dx ¼ 1 2<br />
Definition X.1: Ist die Funktion f auf einem Intervall ½a; 1½ stetig und existiert der Grenzwert<br />
ð k<br />
lim<br />
k!1<br />
a<br />
fðxÞdx, dann definiert man diesen Grenzwert als uneigentliches Integral von f<br />
über ½a; 1½ und schreibt hierfür<br />
ð1<br />
a<br />
fðxÞdx.<br />
Existiert der Grenzwert nicht, so sagt man, dass das uneigentliche Integral nicht existiert.<br />
ð b<br />
Das uneigentliche Integral fðxÞdx wird in analoger Weise definiert.<br />
1<br />
Wir erläutern nun die Vorgehensweise zur Bestimmung eines uneigentlichen Integrals.<br />
c<br />
.......................................................<br />
c<br />
Beispiel: Berechnen Sie, sofern es existiert, das uneigentliche Integral<br />
Lösung:<br />
Zunächst schreiben wir das uneigentliche<br />
Integral als Grenzwert eines bestimmten<br />
Integrals und berechnen dieses für eine beliebige<br />
obere Grenze k mit k > 2.<br />
Anschließend lassen wir die obere Grenze<br />
k über alle Grenzen wachsen, d. h., wir bestimmen<br />
den Grenzwert des bestimmten<br />
Integrals für k !1. Dieser Grenzwert<br />
ist, sofern er existiert, das gesuchte uneigentliche<br />
Integral.<br />
ð1<br />
4<br />
2<br />
x 2 dx ¼ lim<br />
k!1<br />
ð k 2<br />
4<br />
x 2 dx<br />
ð1<br />
4<br />
2<br />
x 2 dx.<br />
h i k<br />
4<br />
¼ lim<br />
k!1 x 2<br />
<br />
4<br />
¼ lim<br />
k!1 k þ 2<br />
¼ 2<br />
Übung 1<br />
Berechnen Sie, sofern sie existieren, die folgenden uneigentlichen Integrale.<br />
ð1<br />
aÞ 8x 5 dx<br />
2<br />
bÞ<br />
ð1<br />
1 ffiffi<br />
x<br />
1<br />
p dx cÞ<br />
ð 0 1<br />
1<br />
ð4 xÞ 3 dx dÞ<br />
ð 2 1<br />
x þ 1<br />
x 4<br />
dx
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