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276 X. Weiterführung der Integralrechnung Übungen 4. Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation des Funktionsgraphen von f um die x-Achse über dem Intervall I entsteht. Fertigen Sie eine Skizze an. p aÞ fx ð Þ¼ ffiffi x , I¼½1;4Š bÞ fx ðÞ¼ x 4 x 2 , I¼½ 1;1Š cÞ fx ð Þ¼ 0,5x þ 2, I ¼½ 2;1Š dÞ fx ðÞ¼ ðx 2Þ 2 þ 4, I ¼½0;4Š p eÞ fx ð Þ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 ,I¼½ 1;1Š fÞ fx ðÞ¼ xx ð 1Þ 2 , I¼½0;2Š 5. Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph von f zwischen den angegebenen Grenzen um die y-Achse rotiert. a) fðxÞ¼ 3x 2, y ¼ 1 bis y ¼ 4 b) fðxÞ¼ x 2 1, y¼0 bis y ¼ 3 c) fðxÞ¼ x 2 þ 1, y ¼ 1 bis y ¼ 2 d) fðxÞ¼ 1 x , y¼ 1 2 bis y ¼ 2 6. Gesucht ist das Volumen des abgebildeten Footballs, der durch Rotation einer Parabel um die x-Achse entsteht. Bestimmen Sie zunächst die Gleichung der Randparabel f. y f(x) = ax 2 + b 7. Kugelkappe Bestimmen Sie das Volumen der Kugelkappe in Abhängigkeit vom Radius r der Kugel und der Höhe h der Kugelkappe. y 7 inch x r h x 11 inch 1 4 1 inch = 2,54 cm 8. Kegelstumpf Die Formel für das Volumen des Kegelstumpfs mit den Radien R und r und der Höhe h soll hergeleitet werden. a) Das Kegelvolumen lässt sich als Rotationsvolumen darstellen. Begründen Sie dies anhand der Skizze. y R r a b x h b) Zeigen Sie, dass die als Randkurve verwendete Ursprungsgerade die Steigung m ¼ R r hat. h c) Weisen Sie nach, dass a ¼ r h R r und b ¼ R h die Integrationsgrenzen sind. R r d) Berechnen Sie das Rotationsvolumen des Kegelstumpfes. y 9. Eine Kugel mit dem Radius R ¼ 4 wird durch eine ringartige Schale eingefasst, deren Volumen gesucht ist. 5 4 1 1 x 10. fx ðÞ¼ x 2 þ 1 rotiert über [ 1;1] um die x-Achse. Ist die Maßzahl des Rotationsvolumens größer als 5? y x
1. Das Volumen von Rotationskörpern 277 11. Der Haupttreibstofftank des Space-Shuttle hat die Form eines Zylinders mit zwei Aufsätzen. Der untere Aufsatz ist näherungsweise halbkugelförmig, der obere Aufsatz hat parabolische Form. Die Maße sind gerundet in der Skizze enthalten. 277-1 8 m Sauerstofftank Wasserstofftank a) Bestimmen Sie zunächst die Gleichung des parabolischen Teils. Verwenden p Sie den Ansatz fðxÞ¼ a ffiffi x . 9 m b) Berechnen Sie das Volumen des parabolischen Teils mit der Rotationsformel. Wie groß ist das Gesamtvolumen des Tanks? 30 m 4 m Booster 12. Ein Glas mit Flüssigkeit rotiert. Dabei nimmt die Flüssigkeitsoberfläche unter dem Einfluss von Schwerkraft und Fliehkraft ein parabelförmiges Profil an. y x 1 2 3 4 5 a) Bestimmen Sie die Parabelgleichung. b) Berechnen Sie das Flüssigkeitsvolumen. c) Wie hoch steht die Flüssigkeit im Glas, wenn dieses nicht rotiert? −1 −2 −1 1 2 3 13. Das abgebildete Fass hat ein parabelförmig gebogenes Daubenprofil. a) Der Mathematiker und Astronom Johannes Kepler (1571–1630) gab die dargestellte Formel für das Volumen eines solchen Fasses an. Führen Sie den Nachweis. b) Leiten Sie aus der Fassformel die Formel für das Zylindervolumen ab. R Kepler’sche Fassformel: V ¼ h 15 p ð 8R2 þ 4Rrþ 3r 2 Þ r y h x
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1. Das Volumen von Rotationskörpern 277<br />
11. Der Haupttreibstofftank des Space-Shuttle hat die Form eines Zylinders mit zwei Aufsätzen.<br />
Der untere Aufsatz ist näherungsweise halbkugelförmig, der obere Aufsatz hat parabolische<br />
Form. Die Maße sind gerundet in der Skizze enthalten. 277-1<br />
8 m<br />
Sauerstofftank<br />
Wasserstofftank<br />
a) Bestimmen Sie zunächst die<br />
Gleichung des parabolischen<br />
Teils. Verwenden<br />
p<br />
Sie den Ansatz<br />
fðxÞ¼ a<br />
ffiffi x .<br />
9 m<br />
b) Berechnen Sie das Volumen<br />
des parabolischen Teils mit<br />
der Rotationsformel. Wie groß<br />
ist das Gesamtvolumen des<br />
Tanks?<br />
30 m 4 m<br />
Booster<br />
12. Ein Glas mit Flüssigkeit rotiert.<br />
Dabei nimmt die Flüssigkeitsoberfläche<br />
unter<br />
dem Einfluss von Schwerkraft<br />
und Fliehkraft ein parabelförmiges<br />
Profil an.<br />
y<br />
x<br />
1 2 3 4 5<br />
a) Bestimmen Sie die Parabelgleichung.<br />
b) Berechnen Sie das Flüssigkeitsvolumen.<br />
c) Wie hoch steht die Flüssigkeit<br />
im Glas, wenn<br />
dieses nicht rotiert?<br />
−1<br />
−2<br />
−1 1 2 3<br />
13. Das abgebildete Fass hat ein parabelförmig<br />
gebogenes Daubenprofil.<br />
a) Der Mathematiker und Astronom<br />
Johannes Kepler (1571–1630)<br />
gab die dargestellte Formel für<br />
das Volumen eines solchen Fasses<br />
an. Führen Sie den Nachweis.<br />
b) Leiten Sie aus der Fassformel die<br />
Formel für das Zylindervolumen<br />
ab.<br />
R<br />
Kepler’sche Fassformel:<br />
V ¼ h 15 p ð 8R2 þ 4Rrþ 3r 2 Þ<br />
r<br />
y<br />
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