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X. Weiterführung der Integralrechnung
Übungen
4. Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation des Funktionsgraphen von f
um die x-Achse über dem Intervall I entsteht. Fertigen Sie eine Skizze an.
p
aÞ fx ð Þ¼
ffiffi x , I¼½1;4Š bÞ fx ðÞ¼ x
4
x 2 , I¼½ 1;1Š
cÞ fx ð Þ¼ 0,5x þ 2, I ¼½ 2;1Š dÞ fx ðÞ¼ ðx 2Þ 2 þ 4, I ¼½0;4Š
p
eÞ fx ð Þ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 x 2 ,I¼½ 1;1Š fÞ fx ðÞ¼ xx ð 1Þ 2 , I¼½0;2Š
5. Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph von f zwischen den
angegebenen Grenzen um die y-Achse rotiert.
a) fðxÞ¼ 3x 2, y ¼ 1 bis y ¼ 4 b) fðxÞ¼ x 2 1, y¼0 bis y ¼ 3
c) fðxÞ¼ x 2 þ 1, y ¼ 1 bis y ¼ 2 d) fðxÞ¼ 1 x , y¼ 1 2 bis y ¼ 2
6. Gesucht ist das Volumen des abgebildeten
Footballs, der durch Rotation einer
Parabel um die x-Achse entsteht.
Bestimmen Sie zunächst die Gleichung
der Randparabel f.
y
f(x) = ax 2 + b
7. Kugelkappe
Bestimmen Sie das Volumen der Kugelkappe
in Abhängigkeit vom Radius
r der Kugel und der Höhe h der Kugelkappe.
y
7 inch
x
r
h
x
11 inch
1
4
1 inch = 2,54 cm
8. Kegelstumpf
Die Formel für das Volumen
des Kegelstumpfs mit
den Radien R und r und der
Höhe h soll hergeleitet werden.
a) Das Kegelvolumen lässt
sich als Rotationsvolumen
darstellen. Begründen
Sie dies anhand der
Skizze.
y
R
r
a b x
h
b) Zeigen Sie, dass die als
Randkurve verwendete Ursprungsgerade
die Steigung
m ¼ R r hat.
h
c) Weisen Sie nach, dass
a ¼ r h
R r und b ¼ R h die Integrationsgrenzen
sind.
R r
d) Berechnen Sie das Rotationsvolumen
des Kegelstumpfes.
y
9. Eine Kugel mit
dem Radius
R ¼ 4 wird durch
eine ringartige
Schale eingefasst,
deren Volumen
gesucht ist.
5
4
1 1
x
10. fx ðÞ¼ x 2 þ 1 rotiert
über [ 1;1]
um die x-Achse.
Ist die Maßzahl des
Rotationsvolumens
größer als 5?
y
x