Download (PDF: 6.1 MB)

1. Das Volumen von Rotationskörpern 275
c
................................................................. ......................................................................................................
c
c
c
Beispiel: Welches Volumen hat das
rechts dargestellte Glas? Die Randkurve
ist eine quadratische Parabel vom
Typ fðÞ¼ x ax 2 .
1. Bestimmung der Parabelgleichung
Aus der Zeichnung kann man ablesen, dass
der Punkt Pð8j2Þ auf der Parabel liegt.
Daher gilt fðÞ¼ 8 2, d. h. 64 a ¼ 2.
Hieraus folgt a ¼ 1 32 .
Die Gleichung der Parabel lautet also
fx ðÞ¼ 1 32 x2 .
2. Berechnung des Rotationsvolumens
Das Flüssigkeitsvolumen reicht von x ¼ 3
bis maximal x ¼ 8.
Daher ergibt sich der Inhalt des Glases
nach der Rotationsformel.
ð 8 2dx¼ ð 8
1
V¼ p
32 x2 p
3
3
h i 8
1
¼ p
5120 x5 19,96 cm3
3
1
1024 x4 dx
Beispiel: Leiten Sie die Formel für das
Volumen einer Kugel mit dem Radius r
her.
Lösung:
Die Kugel lässt sich durch Rotation eines
Halbkreises mit dem Radius r um die x-
Achse über dem Intervall ½–r;rŠ gewinnen.
Der Halbkreis hat die Funktionsgleichung
fðÞ¼
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 x 2 .
p
Daher erhalten wir:
ð r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð r 2
h
V ¼ p r 2 x 2 dx¼ p ðr 2 x 2 Þdx¼ p r 2 1
x
r
r
2
¼ p
3 r3 2 3 r3 ¼ 4 3 pr3 .
y
i r
3 x3
r
f(x) = ax 2
1
y
x
-1
r
y
−2
1 2 3 4 5 6 7 8
x