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274 X. Weiterführung der Integralrechnung c ...................................... Beispiel: Ein Parabolscheinwerfer hat das Randkurvenprofil fðxÞ¼ 3 p ffiffi x 2 . Der Scheinwerfer ist 4 cm lang. Wie groß ist sein Luftvolumen? Lösung: Das Rotationsvolumen berechnet sich folgendermaßen: c V ¼ p ð b a fðxÞ 2 dx ¼ p ð 4 0 pffiffiffi 2dx ð 4 3 x 2 ¼ p 0 y 1 9 4 xdx¼ p 9 8 x2 f 4 h i 4 0 ¼ p 18 56,55 cm3 . x Auch allgemeingültige Volumenformeln lassen sich mit der Rotationsmethode einfach gewinnen, wie das folgende Beispiel des Kreiskegels zeigt. c ............................................................................. Beispiel: Die Formel für das Volumen eines geraden Kreiskegels mit dem Radius r und der Höhe h soll durch Anwenden der Volumenformel für Rotationskörper hergeleitet werden. Lösung: Wir legen einen Querschnitt des Kegels wie abgebildet in ein Koordinatensystem. Die Randkurve f ist dann eine Ursprungsgerade zu fðÞ¼ x m x, wobei für deren Steigung gilt: m ¼ r h . Also gilt: fðxÞ¼ r h x. Als zugehöriges Rotationsvolumen ergibt sich laut nebenstehender Rechnung die klassische Formel für das Kegelvolumen: c V ¼ p 3 r2 h. y r ð b V ¼ p a fðxÞ 2 dx ¼ p ð h 0 h r h x 2 dx ð h h i h r ¼ p 2 x 2 r dx ¼ p 2 1 h 2 h 2 3 x3 0 0 ¼ p r2 h 2 1 3 h3 ¼ p 3 r2 h x Übung 2 Gesucht ist das Volumen des Körpers, welcher durch Rotation der Randkurve fx ðÞ¼ x 2 þ 1 über dem Intervall ½1;2Š entsteht. Übung 3 Leiten Sie die klassische Formel für das Volumen des geraden Kreiszylinders mit dem Radius r und der Höhe h her. y r h x
1. Das Volumen von Rotationskörpern 275 c ................................................................. ...................................................................................................... c c c Beispiel: Welches Volumen hat das rechts dargestellte Glas? Die Randkurve ist eine quadratische Parabel vom Typ fðÞ¼ x ax 2 . 1. Bestimmung der Parabelgleichung Aus der Zeichnung kann man ablesen, dass der Punkt Pð8j2Þ auf der Parabel liegt. Daher gilt fðÞ¼ 8 2, d. h. 64 a ¼ 2. Hieraus folgt a ¼ 1 32 . Die Gleichung der Parabel lautet also fx ðÞ¼ 1 32 x2 . 2. Berechnung des Rotationsvolumens Das Flüssigkeitsvolumen reicht von x ¼ 3 bis maximal x ¼ 8. Daher ergibt sich der Inhalt des Glases nach der Rotationsformel. ð 8 2dx¼ ð 8 1 V¼ p 32 x2 p 3 3 h i 8 1 ¼ p 5120 x5 19,96 cm3 3 1 1024 x4 dx Beispiel: Leiten Sie die Formel für das Volumen einer Kugel mit dem Radius r her. Lösung: Die Kugel lässt sich durch Rotation eines Halbkreises mit dem Radius r um die x- Achse über dem Intervall ½–r;rŠ gewinnen. Der Halbkreis hat die Funktionsgleichung fðÞ¼ x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r 2 x 2 . p Daher erhalten wir: ð r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð r 2 h V ¼ p r 2 x 2 dx¼ p ðr 2 x 2 Þdx¼ p r 2 1 x r r 2 ¼ p 3 r3 2 3 r3 ¼ 4 3 pr3 . y i r 3 x3 r f(x) = ax 2 1 y x -1 r y −2 1 2 3 4 5 6 7 8 x
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X. Weiterführung der Integralrechnung<br />
c<br />
......................................<br />
Beispiel: Ein Parabolscheinwerfer hat<br />
das Randkurvenprofil fðxÞ¼ 3 p ffiffi<br />
x<br />
2 . Der<br />
Scheinwerfer ist 4 cm lang.<br />
Wie groß ist sein Luftvolumen?<br />
Lösung:<br />
Das Rotationsvolumen berechnet sich folgendermaßen:<br />
c V ¼ p <br />
ð b a<br />
fðxÞ 2<br />
dx ¼ p <br />
ð 4 0<br />
<br />
pffiffiffi<br />
2dx ð 4<br />
3<br />
x<br />
2 ¼ p <br />
0<br />
y<br />
1<br />
9<br />
4 xdx¼ p 9<br />
8 x2<br />
f<br />
4<br />
h i 4<br />
0 ¼ p 18 56,55 cm3 .<br />
x<br />
Auch allgemeingültige Volumenformeln lassen sich mit der Rotationsmethode einfach gewinnen,<br />
wie das folgende Beispiel des Kreiskegels zeigt.<br />
c<br />
.............................................................................<br />
Beispiel: Die Formel für das Volumen<br />
eines geraden Kreiskegels mit dem Radius<br />
r und der Höhe h soll durch Anwenden<br />
der Volumenformel für Rotationskörper<br />
hergeleitet werden.<br />
Lösung:<br />
Wir legen einen Querschnitt des Kegels<br />
wie abgebildet in ein Koordinatensystem.<br />
Die Randkurve f ist dann eine Ursprungsgerade<br />
zu fðÞ¼ x m x, wobei für deren<br />
Steigung gilt: m ¼ r h .<br />
Also gilt: fðxÞ¼ r h x.<br />
Als zugehöriges Rotationsvolumen ergibt<br />
sich laut nebenstehender Rechnung die<br />
klassische Formel für das Kegelvolumen:<br />
c V ¼ p 3 r2 h.<br />
y<br />
r<br />
ð b<br />
V ¼ p <br />
a<br />
fðxÞ 2<br />
dx ¼ p <br />
ð h 0<br />
<br />
h<br />
r<br />
h x<br />
2<br />
dx<br />
ð h h i h<br />
r<br />
¼ p <br />
2<br />
x 2 r<br />
dx ¼ p 2<br />
1 h 2 h 2 3 x3<br />
0<br />
0<br />
¼ p r2<br />
h 2 1 3 h3 ¼ p 3 r2 h<br />
x<br />
Übung 2<br />
Gesucht ist das Volumen<br />
des Körpers, welcher durch<br />
Rotation der Randkurve<br />
fx ðÞ¼ x 2 þ 1 über dem Intervall<br />
½1;2Š entsteht.<br />
Übung 3<br />
Leiten Sie die klassische<br />
Formel für das Volumen<br />
des geraden Kreiszylinders<br />
mit dem Radius r<br />
und der Höhe h her.<br />
y<br />
r<br />
h<br />
x
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