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176 VII. Integrationsmethoden 1. Die Produktintegration „Integriert“ man die Produktregel der Differentialrechnung beidseitig, so erhält man im Endergebnis eine Gleichung, die zwei Integrale miteinander verbindet, deren Integrationsterme Produkte sind, sodass man auch von Produktintegration spricht. Wenn man eines dieser Integrale ausrechnen kann, so kann man auch das andere möglicherweise schwierigere Integral bestimmen. Produktregel der Differentialrechnung: (u ·v) 0 =(u 0 ·v) +(u·v 0 ) Integration beider Seiten: ð ð ð (u·v) 0 dx = u 0 ·v dx + u·v 0 dx Ausrechnen der linken Seite: ð ð u·v+C = u 0 ·v dx + u·v 0 dx ) ð ð u 0 ·vdx =u·v– u·v 0 dx Das Verfahren der Produktintegration führt also im Idealfall eine schwere Integrationsaufgabe auf eine leichte Integrationsaufgabe zurück, mehr nicht. Regel zur Produktintegration ð ð u 0 ·v dx= u·v– u·v 0 dx Die Regel zur Produktintegration gilt dann, wenn die beteiligten Faktoren u(x) und v(x) differenzierbar und ihre Ableitungen u 0 (x) und v 0 (x) stetig sind. Oft wird die Produktintegration auch als partielle Integration bezeichnet. Die gegebene Integrationsaufgabe wird zunächst nur teilweise, d. h. partiell gelöst, denn das gesuchte Integral wird nicht direkt bestimmt, sondern nur auf ein weiteres, evtl. einfacheres Integral zurückgeführt. Wir behandeln nun zwei Integraltypen, welche mittels Produktintegration beherrschbar sind. Aus Gründen der Übersichtlichkeit lassen wir im Folgenden – auch wenn dies formal nicht ganz korrekt ist – in allen Zwischenrechnungen die Integrationskonstante weg und notieren diese erst wieder im Endergebnis. Typ 1: Abräumen von Polynomen Ist einer der Faktoren des Integranden ein Polynom und wird der andere Faktor beim Integrieren nicht komplizierter, so kann man das Polynom durch mehrfache Anwendung der Produktintegration „abräumen“, da sich sein Grad mit jedem Differentiationsvorgang erniedrigt. * Bei dieser Gleichung benötigt man keine Integrationskonstante mehr, da sowohl auf der rechten als auch auf der linken Gleichungsseite die Menge aller Stammfunktionen dargestellt ist.
1. Die Produktintegration 177 c ........................................................................................................................................ Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral ð sin x ·x 2 dx. Lösung: Wir wenden auf das gegebene Integral zunächst die Produktintegration an, wobei wir u 0 ðxÞ¼sin und vðxÞ¼x 2 setzen. Wir erhalten ð sin x · x 2 dx ¼ (– cos x)·x 2 – ð (– cos x)·2x dx u 0 v u v u v 0 ð ¼ (– cos x)·x 2 + 2 cos x·x dx. Das rechtsseitige Integral ist ähnlich strukturiert wie das Ausgangsintegral, jedoch etwas einfacher, da der Grad des Polynomfaktors um 1 gesunken ist. Wir wenden die Produktintegration nun noch einmal an, und zwar auf das rechtsseitige Integral. Dieses wird so auf ein einfaches Grundintegral zurückgeführt. ð coxx·x dx ¼ sin x·x – ð sin x ·1 dx u 0 v u v u v 0 ¼ sinx·x + cos x Wir setzen das Ergebnis dieser letzten Produktintegration nun in die obige Gleichung ein und erhalten das gesuchte unbestimmte Integral. Resultat: ð sin x ·x 2 dx ¼ (– cosx) ·x 2 + 2 (sin x · x + cos x) + C c ¼ 2 x ·sin x + cos x·(2 – x 2 )+C Typ 2: Wiederentstehung des Ausgangsintegrals Wenn beide Faktoren beim Integrieren oder Differenzieren nach einer Anzahl von Schritten wieder auftreten, dann kann man so oft Produktintegrationen ausführen, bis das Ausgangsintegral selbst wieder auftritt. Die sodann entstandene Gleichung löst man nach dem Ausgangsintegral auf. Oftmals müssen zusätzlich jedoch kleine Tricks, wie z.B. einfache Termumformungen, angewendet werden.
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1. Die Produktintegration 177<br />
c<br />
........................................................................................................................................<br />
Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral<br />
ð<br />
sin x ·x 2 dx.<br />
Lösung:<br />
Wir wenden auf das gegebene Integral zunächst die Produktintegration an, wobei wir u 0 ðxÞ¼sin und<br />
vðxÞ¼x 2 setzen. Wir erhalten<br />
ð<br />
sin x · x 2 dx ¼ (– cos x)·x 2 –<br />
ð<br />
(– cos x)·2x dx<br />
u 0 v u v u v 0<br />
ð<br />
¼ (– cos x)·x 2 + 2 cos x·x dx.<br />
Das rechtsseitige Integral ist ähnlich strukturiert wie das Ausgangsintegral, jedoch etwas einfacher, da<br />
der Grad des Polynomfaktors um 1 gesunken ist.<br />
Wir wenden die Produktintegration nun noch einmal an, und zwar auf das rechtsseitige Integral.<br />
Dieses wird so auf ein einfaches Grundintegral zurückgeführt.<br />
ð<br />
coxx·x dx ¼ sin x·x –<br />
ð<br />
sin x ·1 dx<br />
u 0 v u v u v 0<br />
¼ sinx·x + cos x<br />
Wir setzen das Ergebnis dieser letzten Produktintegration nun in die obige Gleichung ein und erhalten<br />
das gesuchte unbestimmte Integral.<br />
Resultat:<br />
ð<br />
sin x ·x 2 dx ¼ (– cosx) ·x 2 + 2 (sin x · x + cos x) + C<br />
c ¼ 2 x ·sin x + cos x·(2 – x 2 )+C<br />
Typ 2: Wiederentstehung des Ausgangsintegrals<br />
Wenn beide Faktoren beim Integrieren oder Differenzieren nach einer Anzahl von Schritten wieder<br />
auftreten, dann kann man so oft Produktintegrationen ausführen, bis das Ausgangsintegral<br />
selbst wieder auftritt. Die sodann entstandene Gleichung löst man nach dem Ausgangsintegral<br />
auf. Oftmals müssen zusätzlich jedoch kleine Tricks, wie z.B. einfache Termumformungen, angewendet<br />
werden.
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