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1. Das Volumen von Rotationskörpern 273
Wir erhalten als Resultat folgende Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern.
Auf den Beweis verzichten wir.
Die Rotationsformel
f sei eine über dem Intervall [a ; b] differenzierbare und nicht negative Funktion. Rotiert der
Graph von f über dem Intervall [a ; b] um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskörper mit dem
Volumen
ð b
V ¼ p
a
fðxÞ 2
dx:
273-1
B. Grundlegende Beispiele
Mit dieser Formel kann man für konkrete Randfunktionen f Rotationsvolumina ebenso leicht
wie ansonsten Flächeninhalte berechnen. Man kann darüber hinaus die uns schon bekannten
Volumenformeln für Zylinder, Kegel und Kugel theoretisch herleiten. Wir rechnen im Folgenden
einige Beispiele hierzu.
c
....................................................
c
Beispiel: Berechnen Sie das Volumen
V desjenigen Körpers, der durch Rotation
des Graphen von fðxÞ¼ 1 2 x2 über
dem Intervall I ¼½0;1Š um die x-Achse
entsteht.
Lösung:
Es entsteht ein Rotationskörper, der die
Gestalt eines Spitzhutes hat.
Sein Volumen beträgt nach nebenstehend
aufgeführter Rechnung V ¼ p 0,16 Volumeneinheiten
20
(VE).
y
ð b
V ¼ p
a
f
fðxÞ 2
dx ¼ p
ð 1 0
1
1
2 x2
ð 1 h i 1
1
¼ p
4 x4 1
dx ¼ p
20 x5
0
0
¼ p 0,16 VE
20
2dx
x
Übung 1
Ein Behälter zur Herstellung von Eis hat
ein parabelförmiges Profil mit den angegebenen
Maßen. Stellen Sie zunächst die
Gleichung der Profilkurve auf.
p ffiffiffi
Verwenden
Sie den Ansatz fðxÞ¼a x . Errechnen
Sie sodann das Fassungsvermögen des
Behälters.
y
30 cm
P o l y
x
F r e e z e
20 cm