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X. Weiterführung der Integralrechnung
1. Das Volumen von Rotationskörpern
A. Die Rotationsformel
Flaschen, Vasen, Scheinwerfer und Kugeln
sind rotationssymmetrische Körper,
deren Form durch Rotation einer Randkurve
um eine Achse erzeugt werden kann.
Mit der Integralrechnung kann das Volumen
solcher Körper rechnerisch bestimmt
werden.
y
a
f
b
x
Die Grundidee stammt von Archimedes. Analog zur Einschachtelung von Flächen durch archimedische
Rechteckstreifen kann ein Rotationsvolumen durch Zylinderscheiben eingeschachtelt
werden. Die folgende Gegenüberstellung führt so zur Rotationsformel.
y
f
y
x
f
a = x 0
x 1
x 2
x 3
x n
= b
x
x
x
Die Fläche A unter dem Graphen von f
über dem Intervall [a ; b] wird nach Archimedes
durch eine Treppenfläche aus n
rechteckigen Streifen approximiert.
Der Inhalt dieser Treppenfläche ist eine
Produktsumme der Gestalt
X
fx ð i Þ D x;
denn das Rechteck Nr. i besitzt den Inhalt
fx ð i Þ Dx.
Lässt man die Anzahl n der Rechteckstreifen
gegen unendlich und ihre Breiten Dx
gegen null streben, so strebt die Produktsumme
gegen das bestimmte Integral von
fx ðÞin den Grenzen von a bis b.
Daher gilt für den Flächeninhalt A:
Das Volumen V des durch Rotation des
Graphen von f um die x-Achse über dem
Intervall ½a;bŠ entstehenden Körpers wird
durch einen Treppenkörper aus n zylindrischen
Scheiben approximiert.
Das Volumen dieses Treppenkörpers ist
eine Produktsumme der Gestalt
X
p f 2 ðx i Þ Dx;
denn die Scheibe Nr. i besitzt das Volumen
p f 2 ðx i Þ Dx.
Lässt man die Anzahl n der Scheiben gegen
unendlich und ihre Höhe Dx gegen
null streben, so strebt die Produktsumme
gegen das bestimmte Integral von p f 2 ðÞ x
in den Grenzen von a bis b.
Daher gilt für das Rotationsvolumen V:
ð b
A ¼ fx ðÞdx:
a
ð b
V ¼ p
a
fðxÞ 2
dx: