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270 IX. Logarithmusfunktionen Test Logarithmusfunktionen 1. Bestimmen Sie die Definitionsmenge von f. aÞ fðxÞ¼lnðx 5Þ bÞ fðxÞ¼lnðx 2 4Þ cÞ fðxÞ¼ln 2 þ x 4 x 2. Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f 0 . aÞ fðxÞ¼0,5 lnðx 2 þ 1Þ bÞ fðxÞ¼x 2 lnð2xÞ cÞ fðxÞ¼ ln x x 2 3. Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. aÞ fðxÞ¼x 3 lnð4xÞ bÞ fðxÞ¼ 1 cÞ fðxÞ¼ 4e2x þ 2 x ðlnxÞ 3 e 2x þ x 4. Lösen Sie die Gleichung lnðexþ 2eÞ¼ 1 þ lnðx 2 Þ. 5. Gesucht ist der Inhalt des abgebildeten Flächenstückes A. y f(x) = x 2 +1 g(x) = 2 x A 0 e x 6. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼x ð2 ln xÞ,x> 0. a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktionen f 0 und f 00 . b) Untersuchen Sie f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. c) Skizzieren Sie den Graphen von f für 0 < x 8. d) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte fðxÞ und der Ableitungswerte f 0 ðxÞ, wenn x gegen null strebt. e) Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f in dessen Nullstelle? f) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. g) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die im 1. Quadranten von dem Graphen von f, der x-Achse und der senkrechten Geraden durch den Hochpunkt von f begrenzt wird. h) Die Gerade gðxÞ¼ 1 4 x teilt die Fläche A aus g) in zwei Teile A 1 und A 2 . A 1 liegt oberhalb und A 2 unterhalb der Geraden g. Welche Teilfläche hat den größeren Flächeninhalt? Lösungen unter 270-1
X. Weiterführung der Integralrechnung Ebenso wie die Flächeninhaltsberechnung kann auch die Volumenberechnung von Körpern, die analytisch durch Funktionen beschrieben werden können, mithilfe der Integralrechnung erfolgen. Ein besonders einfaches Verfahren ergibt sich für Rotationskörper. Durch die Einführung sogenannter uneigentlicher Integrale kann nunmehr auch für bestimmte unbegrenzte Flächen ein Inhalt definiert und berechnet werden. Häufig gelingt es nicht, zu einer gegebenen Funktion eine Stammfunktion zu finden. In solchen Fällen half bei der Berechnung bestimmter Integrale bisher nur eine Näherungsrechnung über Ober- bzw. Untersummen, die häufig erst bei großer Streifenzahl brauchbare Ergebnisse liefern. Im letzten Abschnitt dieses Kapitels werden effektive Quadraturverfahren entwickelt. y x
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