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IX. Logarithmusfunktion 269
Überblick
Ableitung von Umkehrfunktionen:
f sei eine umkehrbare, an der Stelle x differenzierbare Funktion
mit f 0 ðxÞ 6¼ 0. Dann gelten die so genannten Umkehrformeln:
1. Fassung 2. Fassung
f 0 1
ðxÞ¼ ðf 1 Þ 0 ðxÞ¼ 1
ðf 1 Þ 0 ðfðxÞÞ
f 0 ðf 1 ðxÞÞ
Die Ableitung einer Funktion
an der Stelle x ist gleich
dem Kehrwert der Ableitung
ihrer Umkehrfunktion
an der Stelle f(x).
Die Ableitung einer Umkehrfunktion
an der Stelle x ist
gleich dem Kehrwert der Ableitung
der Funktion an der
Stelle f 1 ðxÞ.
Die natürliche Logarithmusfunktion:
fðxÞ¼lnx
y
1
f(x) = ln x
D ¼ R þ , W ¼ R,
streng monoton steigend,
lne ¼ 1, ln1 ¼ 0
1
x
Logarithmengesetze:
lnða bÞ¼lna þ ln b
¼ lna ln b
ln a b
lnða b Þ
lnðe x Þ
e lnx
¼b lna
¼x
¼ x
Ableitungsregeln:
ðlnxÞ 0 ¼ 1 x
ðlnðaxÞÞ 0 ¼ 1 x
ðx > 0Þ
ðx > 0, a 2 R,a> 0Þ
Logarithmische Integration
ð
1
x
dx ¼ lnjxjþC
ðx 6¼ 0Þ
ð
Für eine differenzierbare Funktion, die nicht null wird, gilt:
f 0 ðxÞ
dx ¼ lnjfðxÞjþC
fðxÞ