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266 IX. Logarithmusfunktionen B. Kurvenscharen Im Folgenden werden logarithmisch dominierte Scharkurven untersucht. Dabei werden die Standardelemente der Kurvendiskussion verkürzt dargestellt zu Gunsten von scharbezogenen Problemstellungen wie z.B. Ortskurven. ............................................................................................................................................ c Beispiel: Diskutieren Sie die Kurvenschar f a ðxÞ¼ln x þ a für a 1 und x > 0. x Skizzieren Sie die Graphen f 1 ,f 2 und f 3 , und bestimmen Sie die Ortskurve der Extrema. Lösung: 1. Ableitungen: f a ðxÞ ¼ln x þ a x f a 0 ðxÞ ¼ 1 x a x 2 f 00 a ðxÞ ¼ 1 þ 2a x 2 x 3 f 000 a ðxÞ ¼ 2 6a x 3 x 4 2. Extrema: f a 0 ðxÞ ¼ 1 x a x 2 ¼ 0 x a ¼ 0 x ¼ a y ¼ fðaÞ¼ln a þ 1 f 00 a ðaÞ ¼ 1 > 0 ) Minimum a 2 Tiefpunkt Tðaj ln a þ 1Þ 3. Wendepunkte: f 00 a ðaÞ ¼ 1 þ 2a ¼ 0 x 2 x 3 x þ 2a¼ 0 x ¼ 2a y ¼ fð2aÞ¼lnð2aÞþ 1 2 f 000 a ð2aÞ¼ 1 < 0 ) L-r-WP 8a 3 c Wendepunkt W 2alnð2aÞþ 1 2 4. Nullstellen: Die Nullstellenuntersuchung findet erst hier statt, weil die direkte Auflösung der Nullstellengleichung nicht möglich ist, sondern die Extremwerte zur Argumentation genutzt werden können. Da die Ordinate ln a þ 1 des Tiefpunktes wegen a 1 stets größer oder gleich 1 ist, gilt dies auch für alle anderen Funktionswerte: fðxÞ1 für alle x > 0. Daher hat die Funktion keine Nullstellen. 5. Ortskurve der Tiefpunkte: Tiefpunktordinate: y ¼ ln a þ 1 ð1Þ Tiefpunktabszisse: x ¼ a ð2Þ Einsetzen von (2) in (1): Ortskurve: y ¼ ln x þ 1 y f 3 f 2 1 f 1 1 Ortskurve der Tiefpunkte Übung 12 Betrachtet wird die Schar f a ðxÞ¼ln x þ a aus dem obigen Beispiel. x a) Welche Scharfunktion besitzt einen Wendepunkt, der auf der Geraden gðxÞ¼2 liegt? b) Wie lautet die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte der Schar? c) Diskutieren Sie die Schar f a ðxÞ¼ln x þ a für 0 < a 1 bzw. für a < 0. x x 266-1
3. 5. Die Kurvendiskussionen Ableitung von fðxÞ¼ln x 267 ........................................................................................................................................................................ c Beispiel: Gegeben sei die Kurvenschar f a ðxÞ¼ax ln x für a > 0 und x > 0. Untersuchen Sie die Schar auf Extrema und Wendepunkte. Untersuchen Sie das Verhalten von f a für x ! 0 und x !1. Skizzieren Sie die Graphen von f 1=2 ,f 1=3 ,f 1 und f 3 . c Lösung: 1. Ableitungen: Wir berechnen zunächst die Ableitungsfunktionen. 2. Extrema: Die notwendige Bedingung für Extrema f 0 a ðxÞ¼0 ist für die Stelle x ¼ 1 a erfüllt. Der dazugehörige Funktionswert ist 1 þ ln a. Die Überprüfung der Stelle x ¼ 1 a mittels f 00 a ergibt dort eineLinkskrümmung, d. h. ein Minimum: T 1 1 þ ln a . a 3. Wendepunkte: Es gibt keine Wendepunkte, da die notwendige Bedingung f a 00 ðxÞ¼0 für keine Stelle x erfüllt ist. 4. Verhalten für x À 0 und x À‘: Für x ! 0 strebt der Teilterm ðaxÞ gegen 0 und der Teilterm ln x gegen 1. Der Funktionsterm f a ðxÞ¼ax ln x strebt daher gegen 0 ð 1Þ¼1. lim f aðxÞ¼1 x!0 Für x !1strebt der Teilterm ðaxÞ gegen 1: Der Teilterm ln x strebt ebenfalls gegen 1, allerdings aufgrund des extrem schwachen Wachstums des Logarithmus sehr langsam. Die Differenz ax ln x strebt daher auch gegen 1, was Tests bestätigen. lim f aðxÞ¼1 x!1 Ableitungen: f a 0 ðxÞ ¼a 1 x f a 00 ðxÞ ¼ 1 x 2 Extrema: f 0 a ðxÞ ¼0 1 a x ¼ 0 x ¼ 1 a y ¼ f 1 a ¼ 1 ln 1 a ¼ 1 þ ln a ¼ a 2 > 0 ) Mininum Tiefpunkt T 1 1 þ ln a a f a 00 1 a Wendepunkte: f 00 a ðxÞ¼ 1 > 0 für alle x > 0 x 2 ) keine Wendestellen 5. Graphen: y 1 1 f 3 f 1 f 1/2 f 1/3 x Übung 13 Gegeben ist die Schar f a ðxÞ¼ax ln x für a > 0 und x > 0. a) Welche Funktion der Schar besitzt ein Extremum mit der Ordinate y ¼ 2? b) Wie lautet die Gleichung der Ortskurve der Extrema dieser Schar?
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3. 5. Die Kurvendiskussionen<br />
Ableitung von fðxÞ¼ln x 267<br />
........................................................................................................................................................................<br />
c Beispiel: Gegeben sei die Kurvenschar f a ðxÞ¼ax ln x für a > 0 und x > 0.<br />
Untersuchen Sie die Schar auf Extrema und Wendepunkte. Untersuchen Sie das Verhalten<br />
von f a für x ! 0 und x !1. Skizzieren Sie die Graphen von f 1=2 ,f 1=3 ,f 1 und f 3 .<br />
c<br />
Lösung:<br />
1. Ableitungen:<br />
Wir berechnen zunächst die Ableitungsfunktionen.<br />
2. Extrema:<br />
Die notwendige Bedingung für Extrema<br />
f 0 a ðxÞ¼0 ist für die Stelle x ¼ 1 a<br />
erfüllt. Der dazugehörige Funktionswert<br />
ist 1 þ ln a.<br />
Die Überprüfung der Stelle x ¼ 1 a mittels<br />
f 00 a ergibt dort eineLinkskrümmung,<br />
<br />
d. h. ein Minimum: T 1 1 þ ln a .<br />
a<br />
3. Wendepunkte:<br />
Es gibt keine Wendepunkte, da die notwendige<br />
Bedingung f a 00 ðxÞ¼0 für<br />
keine Stelle x erfüllt ist.<br />
4. Verhalten für x À 0 und x À‘:<br />
Für x ! 0 strebt der Teilterm ðaxÞ gegen<br />
0 und der Teilterm ln x gegen 1.<br />
Der Funktionsterm f a ðxÞ¼ax ln x<br />
strebt daher gegen 0 ð 1Þ¼1.<br />
lim f aðxÞ¼1<br />
x!0<br />
Für x !1strebt der Teilterm ðaxÞ gegen<br />
1: Der Teilterm ln x strebt ebenfalls<br />
gegen 1, allerdings aufgrund des<br />
extrem schwachen Wachstums des Logarithmus<br />
sehr langsam.<br />
Die Differenz ax ln x strebt daher<br />
auch gegen 1, was Tests bestätigen.<br />
lim f aðxÞ¼1<br />
x!1<br />
Ableitungen:<br />
f a 0 ðxÞ ¼a<br />
1<br />
x<br />
f a 00 ðxÞ ¼ 1 x 2<br />
Extrema:<br />
f 0 a ðxÞ ¼0<br />
1<br />
a<br />
x ¼ 0<br />
x ¼ 1 a<br />
y ¼ f 1 a<br />
¼ 1 ln 1 a ¼ 1 þ ln a<br />
<br />
¼ a 2 > 0 ) Mininum<br />
<br />
<br />
Tiefpunkt T 1 <br />
1 þ ln a<br />
a<br />
f a<br />
00 1<br />
a<br />
Wendepunkte:<br />
f 00 a ðxÞ¼ 1 > 0 für alle x > 0<br />
x 2<br />
) keine Wendestellen<br />
5. Graphen:<br />
y<br />
1<br />
1<br />
f 3<br />
f 1<br />
f 1/2<br />
f 1/3<br />
x<br />
Übung 13<br />
Gegeben ist die Schar f a ðxÞ¼ax ln x für a > 0 und x > 0.<br />
a) Welche Funktion der Schar besitzt ein Extremum mit der Ordinate y ¼ 2?<br />
b) Wie lautet die Gleichung der Ortskurve der Extrema dieser Schar?
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