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3. 5. Die Kurvendiskussionen
Ableitung von fðxÞ¼ln x 265
Übungen
9. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼2 lnðx 1Þ x þ 2.
a) Wie lautet die Definitionsmenge von f ?
b) Bestimmen Sie die Ableitungen f 0 und f 00 .
c) Weisen Sie nach, dass bei x ¼ 2 eine Nullstelle von f liegt.
Zeigen Sie, dass zwischen x ¼ 4,4 und x ¼ 4,6 eine weitere Nullstelle liegt.
d) Untersuchen Sie die Funktion f auf Extrema.
e) Untersuchen Sie das Verhalten von f für x !1und x ! 1.
f) Skizzieren Sie den Graphen von f für 1 < x 7.
g) Wo schneidet die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x ¼ 2 die y-Achse?
p ffiffi
10. Gegeben sei die Funktion fðxÞ¼2x ln x ,x> 0.
a) Bestimmen Sie f 0 und f 00 .
b) Untersuchen Sie f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.
c) Untersuchen Sie, wie sich fðxÞ und f 0 ðxÞ verhalten, wenn x gegen 0 strebt.
d) Skizzieren Sie den Graphen von f für 0 < x 3.
e) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.
f) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die im 4. Quadranten von dem Graphen von f,
der x-Achse und der senkrechten Geraden durch den Tiefpunkt von f umschlossen wird.
g) In welchem Punkt P hat der Graph von f eine Tangente, die parallel zur Winkelhalbierenden
des 1. Quadranten ist? In welchem Punkt Q ist die Kurventangente parallel zur
Winkelhalbierenden des 4. Quadranten?
h) Wo schneiden sich die beiden Tangenten aus g)?
11. Gegeben sei die Funktion fðxÞ¼x ðlnðx 2 Þ 2Þ.
a) Wie lautet die Definitionsmenge von f ?
b) Begründen Sie, weshalb x ¼ 0 keine Nullstelle von f ist, obwohl für x ¼ 0 ein Faktor des
Funktionsterms null wird.
c) Bestimmen Sie die Nullstellen von f.
d) Untersuchen Sie f auf Extrema und Wendepunkte.
e) Skizzieren Sie den Graphen von f für 4 x 4.
f) Wo schneidet die Gerade gðxÞ¼ 2x den Graphen von f ?
g) Die vertikale Gerade x ¼ z mit 0 < z 1 schneidet den Graphen von f im Punkt A und
den Graphen von g im Punkt B. Wie muss z gewählt werden, damit die Länge der Strecke
AB möglichst groß wird?
h) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.
i) Der Graph von f schließt mit den Koordinatenachsen im 4. Quadranten ein Flächenstück
ein. Berechnen Sie dessen Inhalt.
Knobelaufgabe
Ein Hase und ein Spanferkel wiegen zusammen 20 Pfund. Hasen kosten pro
Pfund 20 Cent weniger als Ferkel. Der Hase soll 8 Euro und 20 Cent
kosten, für das Ferkel will der Bauer 27 Euro und 60 Cent haben.
Berechnen Sie das Gewicht des Hasens und des Spanferkels.