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IX. Logarithmusfunktionen
c
.......................................................................................................................................................
Beispiel: Diskutieren Sie die Funktion fðxÞ¼5 ln x ,x> 0.
x
Lösung:
1. Ableitungen:
Wir können die Ableitung mithilfe der
Quotientenregel oder nach Umformung
des Funktionsterms in ein Produkt
mithilfe der Produktregel berechnen.
Die zweite Vorgehensweise
ist rechts dargestellt.
Analog berechnen wir f 00 und f 000 .
c
2. Nullstellen:
Nullstelle: Nð1j0Þ
3. Extrema:
Hochpunkt: H e
5 Hð2,72j1,84Þ
e
4. Wendepunkte:
Wðe 3=2 j7,5e 3=2 ÞWð4,48 j1,67Þ
5. Verhalten für x À‘ und x À 0:
x 1 10 100 1000 !1
fðxÞ 0 1,151 0,230 0,034 ! 0
f 0 ðxÞ 5 – 0,07 – 0,002 – 0,00003 ! 0
x 1 0,1 0,01 0,001 ! 0
f(x) 0 – 115 – 2303 – 34 539 ! 1
f 0 ðxÞ 5 1651 2,8 10 5 3,95 10 7 !1
Ableitungen:
fðxÞ ¼5 ln x
x
¼ 5 x
lnx
f 0 5
ðxÞ ¼ ln x þ 5 x 2
x 1 x ¼ 5 ð1
x 2
f 00 ðxÞ ¼ 5 ð2lnx 3Þ
x 3
f 000 ðxÞ¼ 5 x 4 ð11
6lnxÞ
ln xÞ
Nullstellen, Extrema, Wendepunkte:
fðxÞ ¼0 , 5 ln x
x ¼ 0
, ln x ¼ 0 , x ¼ 1
f 0 ðxÞ ¼0 , 5 ð1 ln xÞ¼0
x 2
, 1 ln x ¼ 0 , x ¼ e
y ¼ fðeÞ¼ 5 e
f 00 ðeÞ ¼ 5 < 0 ) Maximum
e 3
f 00 ðxÞ ¼0 , 2lnx 3 ¼ 0 , x ¼ e 3=2
y ¼ fðe 3=2 Þ¼7,5e 3=2
f 000 ðe 3=2 Þ¼10e 6 > 0 ) R-1-WP
6. Graph:
y
1
N
1
h
H
g
W
f
x
Übung 8
Gegeben sei wieder die Funktion fðxÞ¼5 ln x ,x> 0, aus dem obigen Beispiel.
x
a) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.
b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A zwischen dem Graphen von f und der Geraden g durch
die Nullstelle und den Hochpunkt von f.
c) Eine Ursprungsgerade h berührt den Graphen von f im Punkt PðzjfðzÞÞ. Berechnen Sie die
Abszisse z des Berührpunktes.