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176<br />
VII. Integrationsmethoden<br />
1. Die Produktintegration<br />
„Integriert“ man die Produktregel der Differentialrechnung<br />
beidseitig, so erhält man<br />
im Endergebnis eine Gleichung, die zwei<br />
Integrale miteinander verbindet, deren Integrationsterme<br />
Produkte sind, sodass man<br />
auch von Produktintegration spricht.<br />
Wenn man eines dieser Integrale ausrechnen<br />
kann, so kann man auch das andere<br />
möglicherweise schwierigere Integral bestimmen.<br />
Produktregel der Differentialrechnung:<br />
(u ·v) 0 =(u 0 ·v) +(u·v 0 )<br />
Integration beider Seiten:<br />
ð<br />
ð ð<br />
(u·v) 0 dx = u 0 ·v dx + u·v 0 dx<br />
Ausrechnen der linken Seite:<br />
ð ð<br />
u·v+C = u 0 ·v dx + u·v 0 dx )<br />
ð<br />
ð<br />
u 0 ·vdx =u·v– u·v 0 dx<br />
<br />
Das Verfahren der Produktintegration<br />
führt also im Idealfall eine schwere Integrationsaufgabe<br />
auf eine leichte Integrationsaufgabe<br />
zurück, mehr nicht.<br />
Regel zur Produktintegration<br />
ð<br />
ð<br />
u 0 ·v dx= u·v– u·v 0 dx<br />
Die Regel zur Produktintegration gilt dann, wenn die beteiligten Faktoren u(x) und v(x) differenzierbar<br />
und ihre Ableitungen u 0 (x) und v 0 (x) stetig sind.<br />
Oft wird die Produktintegration auch als partielle Integration bezeichnet. Die gegebene Integrationsaufgabe<br />
wird zunächst nur teilweise, d. h. partiell gelöst, denn das gesuchte Integral wird<br />
nicht direkt bestimmt, sondern nur auf ein weiteres, evtl. einfacheres Integral zurückgeführt.<br />
Wir behandeln nun zwei Integraltypen, welche mittels Produktintegration beherrschbar sind.<br />
Aus Gründen der Übersichtlichkeit lassen wir im Folgenden – auch wenn dies formal nicht ganz<br />
korrekt ist – in allen Zwischenrechnungen die Integrationskonstante weg und notieren diese erst<br />
wieder im Endergebnis.<br />
Typ 1: Abräumen von Polynomen<br />
Ist einer der Faktoren des Integranden ein Polynom und wird der andere Faktor beim Integrieren<br />
nicht komplizierter, so kann man das Polynom durch mehrfache Anwendung der Produktintegration<br />
„abräumen“, da sich sein Grad mit jedem Differentiationsvorgang erniedrigt.<br />
* Bei dieser Gleichung benötigt man keine Integrationskonstante mehr, da sowohl auf der rechten als auch<br />
auf der linken Gleichungsseite die Menge aller Stammfunktionen dargestellt ist.