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3. 5. Die Kurvendiskussionen
Ableitung von fðxÞ¼ln x 263
Übungen
4. Gegeben sei fðxÞ¼x 2 ðln x 1Þ,x> 0.
Mithilfe eines Funktionsplotters wurde
der abgebildete Graph von f erstellt.
Folgende Fragen bleiben offen:
a) die exakte Lage der Nullstelle, des
Tiefpunktes, des Wendepunktes,
b) das Steigungsverhalten von f bei
der rechtsseitigen Annäherung an
die Stelle x ¼ 0.
Versuchen Sie, die Fragen zu klären.
1
y
f(x) = x 2 · [ln (x)-1]
1 2 3 x
5. Gegeben sei wieder fðxÞ¼x 2 ðln x 1Þ,x> 0:
a) Wie lautet die Gleichung der Wendetangente?
b) Welche Steigung liegt in der Nullstelle vor, wie groß ist der Steigungswinkel?
c) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.
d) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die vom Graphen von f, der x-Achse und den
senkrechten Geraden x ¼ 1 und x ¼ e im 4. Quadranten eingeschlossen wird.
6. Gegeben sei die Funktion
fðxÞ¼ 2x ln x, 0 < x 1
deren Graph rechts abgebildet ist.
Wie muss der Punkt P des Graphen
von f gewählt werden, damit der Inhalt
des abgebildeten Dreiecks maximal
wird?
y
P
f(x) = -2x · ln x
1
x
7. Die Funktion fðxÞ¼
x ln
x, x > 0,
hat einen Hochpunkt H 1
1
.
e e
Durch den Ursprung O und den Punkt H
wird eine Sehne g gelegt. Die Graphen
von f und g schneiden aus der senkrechten
Geraden x ¼ z ð0 < z 1 e Þ eine
Strecke heraus.
Für welchen Wert von z ist die Streckenlänge
maximal?
y
1
O
z
H
f(x) = -x · ln x
1
x