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3. 5. Die Kurvendiskussionen
Ableitung von fðxÞ¼ln x 261
Übungen
1. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼x 2 ln x.
a) Skizzieren Sie die Graphen der Einzelterme x 2 und ln x. Fertigen Sie anschließend eine
Skizze des Graphen von f an, indem Sie die Einzelterme subtraktiv überlagern.
b) Errechnen Sie den Tiefpunkt des Graphen von f.
c) Begründen Sie anhand der Ergebnisse aus b), dass f keine Nullstellen besitzt.
d) Wie verhält sich die Funktion für x ! 0?
e) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt Pð1j1Þ.
f) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.
g) Gesucht ist der Inhalt der Fläche A, die vom Graphen von f, der Parabel gðxÞ¼x 2 , der
senkrechten Geraden x ¼ e und der x-Achse im ersten Quadranten eingeschlossen wird.
Fertigen Sie zunächst eine Skizze an.
2. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ln x lnð6 xÞ:
a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge von f. Wie verhält sich die Funktion an den Rändern
der Definitionsmenge?
b) Errechnen Sie die Ableitungen f 0 und f 00 :
c) Wo liegt die Nullstelle von f ?
d) Zeigen Sie, dass f keine Extremalstellen besitzt.
e) Untersuchen Sie f auf Wendepunkte. Die dritte Ableitung von f hat die Funktionsgleichung
f 000 ðxÞ¼ 2 þ 2 , die zur Untersuchung verwendet werden kann.
x 3 ð6 xÞ 3
f) Skizzieren Sie den Graphen von f.
g) Stellen Sie die Gleichung der Wendetangente t auf.
h) Wo schneidet der Graph von f die horizontale Gerade gðxÞ¼1?
i) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.
j) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A zwischen dem Graphen von f, der horizontalen
Geraden gðxÞ¼1 und den beiden Koordinatenachsen.
Verwenden Sie die Ergebnisse aus c), h) und i).
Knobelaufgabe
Aus dem Buch „Vollständige Anleitung zur Algebra“, das 1770 von
Leonard Euler herausgegeben wurde und mehr als 100 Jahre lang zu
den beliebtesten und meist gelesenen Lehrbüchern gehörte, stammt die
Problemstellung zu folgender Aufgabe:
Ich habe einige (nicht unbedingt ganzzahlige) Ellen Tuch gekauft und
dabei für je 5 Ellen 7 Taler bezahlt. Dann habe ich das gesamte Tuch
wieder verkauft, wobei ich für je 7 Ellen 11 Taler bekam. Bei diesem
Handel habe ich 100 Taler gewonnen.
Wie viele Ellen Tuches habe ich gekauft und anschließend wieder verkauft?
(Mathematik-Olympiade, Aufgabe 430722)