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IX. Logarithmusfunktionen
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c Beispiel: Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ln x þ lnð4 xÞ.
Bestimmen Sie die Definitionsmenge von f. Untersuchen Sie f auf Nullstellen, Ableitungen,
Extrema und Wendepunkte. Wie verhält sich f an den Rändern der Definitionsmenge?
Skizzieren Sie den Graphen von f.
c
Lösung:
1. Definitionsmenge:
Der Term ln x ist für x > 0 definiert, der Term lnð4 xÞ genau dann, wenn 4 x > 0 gilt, also
für x < 4. Daher ist der Summenterm ln x þ lnð4 xÞ nur dann definiert, wenn beide Bedingungen
zugleich gelten, also für 0 < x < 4.
2. Nullstellen:
Die Berechnung der Nullstellen gestaltet
sich relativ kompliziert. Bei den
rechts dargestellten Umformungen benötigen
wir an einer Stelle die Beziehung
ln 1 ¼ ln 1 ln z ¼ ln z, um
z
weiter zu kommen.
Es ergeben sich zwei Nullstellen bei
x 0,27 und x 3,73.
3. Ableitungen:
Bei der Berechnung der Ableitungen
benötigen wir für das Differenzieren
des Terms lnð4 xÞ die Kettenregel:
ðlnð4 xÞÞ 0 ¼ 1 ð 1Þ:
4 x
4. Extrema:
Die erste Ableitung hat nach nebenstehender
Rechnung eine Nullstelle bei
x ¼ 2. Hier liegt wegen f 00 ð2Þ < 0 ein
Maximum: Hochpunkt Hð2j1,39Þ.
5. Wendepunkte:
Es gibt keine Wendepunkte, da die
zweite Ableitung stets negativ ist.
6. Verhalten für x À 0 bzw. x À 4:
x 1 0,1 0,01 0,001 ! 0
f(x) 1,1 – 0,94 – 3,22 – 5,52 ! 1
x 3 3,9 3,99 3,999 ! 4
f(x) 1,1 – 0,94 – 3,22 – 5,52 ! 1
Nullstellen:
fðxÞ¼0
ln x þ lnð4 xÞ¼0
ln x ¼ lnð4 xÞ
ln x ¼ ln 1
4 x ðda ln 1 ¼ ln zÞ
z
x ¼ 1
4 x
x 2 4xþ 1 ¼ 0
p
x ¼ 2
ffiffi
3
x 0,27,x 3,73
Ableitungen:
1
4 x
f 0 ðxÞ ¼ 1 x
f 00 ðxÞ¼ 1 1
x 2 ð4 xÞ 2
Extrema:
f 0 ðxÞ¼ 1 1
¼ 0
x 4 x
jx ð4 xÞ
ð4 xÞ x ¼ 0
4 2x ¼ 0
x ¼ 2, y ¼ 2 ln 2 1,39
f 00 ð2Þ¼
1 2 < 0 ) Maximum
y
1
-1
-2
H
1 2 3
f(x) = ln x+ln (4-x)
4
x