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3. 5. Die Kurvendiskussionen
Ableitung von fðxÞ¼ln x 259
....................................................
c
5. Verhalten für x À‘:
Wir prüfen das Verhalten für x !1
mithilfe einer Wertetabelle:
x 1 10 100 1000 !1
f(x) 1 7,7 95,4 993,1 !1
f 0 ðxÞ 0 0,9 0,99 0,999 ! 1
Für x!1wachsen die Funktionswerte
ebenfalls gegen 1, während die Steigung
f 0 sich dem Wert 1 nähert. Der
Graph verläuft also dann fast parallel zur
Winkelhalbierenden des 1. Quadranten.
6. Verhalten für x À 0:
Hier verwenden wir ebenfalls eine
Wertetabelle:
x 1 0,1 0,01 0,001 ! 0
f(x) 1 2,4 4,6 6,9 !1
f 0 ðxÞ 0 – 9 – 99 – 999 ! 1
Für x ! 0 streben die Funktionswerte
ebenfalls gegen 1, die Steigung f 0 dagegen
strebt nach 1. Der Graph geht
also fast senkrecht rechts neben der
y-Achse in die Höhe.
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c Beispiel: Gegeben ist wieder die
Funktion fðxÞ¼x ln x.
Wie lautet die Gleichung der Kurvennormalen
im Punkt Pðeje 1Þ?
c
Lösung:
Wir gehen von der allgemeinen Normalengleichung
aus, die rechts dargestellt ist.
Dort setzen wir z ¼ e, fðzÞ¼fðeÞ¼e 1
und f 0 ðzÞ¼f 0 1
ðeÞ¼1
e ¼ e 1 ein.
e
Mit dem Näherungswert e 2,72 erhalten
wir nðxÞ 1,58x þ 6,02 als Normalengleichung.
c Beispiel: Gegeben sind fðxÞ¼x ln x
sowie gðxÞ¼ln x. Die Graphen von f
und g schneiden aus der senkrechten Geraden
x ¼ z eine Strecke heraus.
Für welchen Wert von z ist die Länge
dieser Strecke am kleinsten?
c
Lösung:
Die Länge dieser Strecke ist die Differenz
der Funktionswerte von f und g an der Stelle
x ¼ z, also lðzÞ¼z 2 ln z.
Gesucht ist das relative Minimum dieser
Funktion. Die Extremalberechnung zeigt,
dass es bei z ¼ 2 liegt. Die minimale Streckenlänge
beträgt dann l MIN 0,61:
y
1
f(x) = x - ln x
1
nðxÞ¼
1
f 0 ðzÞ ðx
P
e
Normale
zÞþfðzÞ
e
nðxÞ¼ ðx eÞþe 1
e 1
nðxÞ 1,58 ðx 2,72Þþ1,72
nðxÞ 1,58 x þ 6,02
y
1
1
x = z
f(x) = x- ln x
lðzÞ ¼fðzÞ gðzÞ¼z 2 ln z
l 0 2
ðzÞ¼ 1 ¼ 0
z
z ¼ 2
l MIN ¼ lð2Þ¼2 2 ln 2 0,61
x
g(x) = ln x
x