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256 IX. Logarithmusfunktionen c ..................................................................................... c Beispiel: Tangente Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼lnx. Welche Ursprungsgerade gðxÞ¼m x berührt den Graphen von f als Tangente? Bestimmen Sie die Berührstelle x. Lösung: Die zeichnerische Lösung ist rechts dargestellt. Rechnerisch geht man davon aus, dass an der Berührstelle x sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen der beiden Funktionen übereinstimmen: fðxÞ¼gðxÞ und f 0 ðxÞ¼g 0 ðxÞ: Diese beiden Gleichungen bilden ein Gleichungssystem, das mit dem Einsetzungsoder dem Gleichsetzungsverfahren leicht gelöst werden kann. Wir erhalten eine Berührstelle bei x ¼ e. Hieraus folgt für die Geradensteigung m ¼ 1 . Die Tangentengleichung ist also gðxÞ¼ 1 e e x. y 1 1 Ursprungsgerade 2,8 f(x) = ln x Berührstelle: fðxÞ ¼gðxÞ ) ln x ¼ mx ð1Þ f 0 ðxÞ¼g 0 ðxÞ ) 1 x ¼ m ð2Þ Einsetzen von (2) in (1): lnx ¼ 1 x ¼ e Tangentengleichung: Einsetzen von x ¼ e in (2): m ¼ 1 ) gðxÞ¼ 1 e e x x c ........................................................................ c Beispiel: Extremalproblem Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼2 lnx. Wie muss der Punkt PðzjfðzÞÞ des Graphen von f gewählt werden ð1 < z < eÞ, damit der Umfang des dargestellten Rechtecks möglichst groß wird? Lösung: Die Länge des Rechtecks beträgt ðe zÞ, die Höhe beträgt fðzÞ¼2 lnz. Damit gilt für den Umfang U die Beziehung: UðzÞ¼2 ðe zÞþ4 lnz. Mithilfe der Differentialrechnung können wir das Maximum der Funktion U errechnen. Es liegt nach nebenstehender Rechnung bei z ¼ 2. Der zugehörige Maximalumfang hat den Wert U MAX ¼ Uð2Þ4,21. y 1 P f 1 z e Extremalrechnung: UðzÞ ¼2 ðe zÞþ4 lnz U 0 ðzÞ ¼ 2 þ 4 z U 00 ðzÞ¼ 8 z 2 U 0 ðzÞ ¼0 ) 2 þ 4 z ¼ 0 , z ¼ 2 U 00 ð2Þ¼ 2 < 0 ) Maximum U MAX ¼ Uð2Þ¼2 ðe 2Þþ4 ln2 4,21 x Übung 2 Die Graphen von fðxÞ¼x 2 und gðxÞ¼2 lnx schneiden aus der senkrechten Geraden x ¼ t ðt > 0Þ eine Strecke heraus. Für welchen Wert von t ist die Länge dieser Strecke am kleinsten? Lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch und rechnerisch.
3. 4. Die Elementare Ableitung Funktionsuntersuchungen von fðxÞ¼ln x 257 Übungen 3. Bestimmen Sie die Definitionsmenge von f. a) fx ð Þ¼ lnð2xÞ b) fx ð Þ¼ lnðx þ 3Þ c) fx ðÞ¼ lnð5 xÞ d) fx ð Þ¼ lnð4 6xÞ p e) fx ð Þ¼ lnðx 2 Þ f) fx ð Þ¼ lnðx 2 þ 1Þ g) fx ðÞ¼ lnð1 x 2 Þ h) fx ð Þ¼ ffiffiffiffiffiffiffi ln x 4. Welche Steigung hat der Graph der Funktion f an der Stelle x? a) fx ð Þ¼ lnð3xÞ,x¼ e b) fx ð Þ¼ lnðx 2 Þ,x¼ 1 5. An welchen Stellen beträgt der Steigungswinkel von f 45°? a) fx ð Þ¼ lnð3xÞ b) fx ð Þ¼ lnðx 2 Þ 6. Gesucht ist die Gleichung der Tangente t bzw. der Normalen n an den Graphen von f im Punkt P. a) Tangente in P2jln 4 ,fðxÞ¼ lnð2xÞ b) Normale in P1j0 ð Þ,fðxÞ¼ lnð2 xÞ c) Tangente in Pej2 ,fðxÞ¼ lnðx 2 Þ d) Normale in P1j0 ð Þ,fðxÞ¼ x lnx 7. Welche Parallele n zur eingezeichneten Geraden g ist Normale an den Graphen von fx ð Þ¼ lnx? Lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch näherungsweise und rechnerisch exakt. y 2 1 g n(x) = ? f(x) = ln x 1 x 8. Die Graphen von fx ð Þ¼ ln x und gx ð Þ¼ x schneiden aus der senkrechten Geraden x ¼ z eine Strecke heraus. Für welchen Wert von z ist die Länge dieser Strecke minimal? Lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch näherungsweise und rechnerisch exakt. y 1 1 x = z g(x) = x f(x) = ln x x 9. Gesucht ist der Inhalt der Fläche A, die vom Graphen von fx ðÞ¼ lnð4 Koordinatenachsen im 1. Quadranten umschlossen wird. a) Verwenden Sie eine Stammfunktion F von f. b) Verwenden Sie die Umkehrfunktion f 1 von f. xÞund den beiden 10. Gesucht ist der Inhalt der abgebildeten Fläche A. 1 y A x 2 ln x 1 x
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3. 4. Die Elementare Ableitung Funktionsuntersuchungen<br />
von fðxÞ¼ln x 257<br />
Übungen<br />
3. Bestimmen Sie die Definitionsmenge von f.<br />
a) fx ð Þ¼ lnð2xÞ b) fx ð Þ¼ lnðx þ 3Þ c) fx ðÞ¼ lnð5<br />
xÞ d) fx ð Þ¼ lnð4<br />
6xÞ<br />
p<br />
e) fx ð Þ¼ lnðx 2 Þ f) fx ð Þ¼ lnðx 2 þ 1Þ g) fx ðÞ¼ lnð1 x 2 Þ h) fx ð Þ¼<br />
ffiffiffiffiffiffiffi<br />
ln x<br />
4. Welche Steigung hat der Graph der<br />
Funktion f an der Stelle x?<br />
a) fx ð Þ¼ lnð3xÞ,x¼ e<br />
b) fx ð Þ¼ lnðx 2 Þ,x¼ 1<br />
5. An welchen Stellen beträgt der Steigungswinkel<br />
von f 45°?<br />
a) fx ð Þ¼ lnð3xÞ<br />
b) fx ð Þ¼ lnðx 2 Þ<br />
6. Gesucht ist die Gleichung der Tangente<br />
t bzw. der Normalen n an den<br />
Graphen von f im Punkt P.<br />
a) Tangente in P2jln 4 ,fðxÞ¼ lnð2xÞ<br />
b) Normale in P1j0 ð Þ,fðxÞ¼ lnð2<br />
xÞ<br />
c) Tangente in Pej2 ,fðxÞ¼ lnðx 2 Þ<br />
d) Normale in P1j0 ð Þ,fðxÞ¼ x lnx<br />
7. Welche Parallele n zur eingezeichneten<br />
Geraden g ist Normale an den Graphen<br />
von fx ð Þ¼ lnx?<br />
Lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch<br />
näherungsweise und rechnerisch exakt.<br />
y<br />
2<br />
1<br />
g<br />
n(x) = ?<br />
f(x) = ln x<br />
1<br />
x<br />
8. Die Graphen von fx ð Þ¼ ln x und<br />
gx ð Þ¼ x schneiden aus der senkrechten<br />
Geraden x ¼ z eine Strecke heraus.<br />
Für welchen Wert von z ist die<br />
Länge dieser Strecke minimal? Lösen<br />
Sie die Aufgabe zeichnerisch näherungsweise<br />
und rechnerisch exakt.<br />
y<br />
1<br />
1<br />
x = z<br />
g(x) = x<br />
f(x) = ln x<br />
x<br />
9. Gesucht ist der Inhalt der Fläche A, die vom Graphen von fx ðÞ¼ lnð4<br />
Koordinatenachsen im 1. Quadranten umschlossen wird.<br />
a) Verwenden Sie eine Stammfunktion F von f.<br />
b) Verwenden Sie die Umkehrfunktion f 1 von f.<br />
xÞund den beiden<br />
10. Gesucht ist der Inhalt der abgebildeten<br />
Fläche A.<br />
1<br />
y<br />
A<br />
x 2<br />
ln x<br />
1<br />
x
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