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IX. Logarithmusfunktionen
c
.....................................................................................
c
Beispiel: Tangente
Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼lnx.
Welche Ursprungsgerade gðxÞ¼m x
berührt den Graphen von f als Tangente?
Bestimmen Sie die Berührstelle x.
Lösung:
Die zeichnerische Lösung ist rechts dargestellt.
Rechnerisch geht man davon aus,
dass an der Berührstelle x sowohl die
Funktionswerte als auch die Steigungen
der beiden Funktionen übereinstimmen:
fðxÞ¼gðxÞ und f 0 ðxÞ¼g 0 ðxÞ:
Diese beiden Gleichungen bilden ein Gleichungssystem,
das mit dem Einsetzungsoder
dem Gleichsetzungsverfahren leicht
gelöst werden kann. Wir erhalten eine Berührstelle
bei x ¼ e. Hieraus folgt für die
Geradensteigung m ¼ 1 . Die Tangentengleichung
ist also gðxÞ¼ 1 e
e x.
y
1
1
Ursprungsgerade
2,8
f(x) = ln x
Berührstelle:
fðxÞ ¼gðxÞ ) ln x ¼ mx ð1Þ
f 0 ðxÞ¼g 0 ðxÞ ) 1 x ¼ m ð2Þ
Einsetzen von (2) in (1):
lnx ¼ 1
x ¼ e
Tangentengleichung:
Einsetzen von x ¼ e in (2):
m ¼ 1 ) gðxÞ¼ 1 e
e x
x
c
........................................................................
c
Beispiel: Extremalproblem
Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼2 lnx.
Wie muss der Punkt PðzjfðzÞÞ des Graphen
von f gewählt werden ð1 < z < eÞ,
damit der Umfang des dargestellten
Rechtecks möglichst groß wird?
Lösung:
Die Länge des Rechtecks beträgt ðe zÞ,
die Höhe beträgt fðzÞ¼2 lnz.
Damit gilt für den Umfang U die Beziehung:
UðzÞ¼2 ðe zÞþ4 lnz.
Mithilfe der Differentialrechnung können
wir das Maximum der Funktion U errechnen.
Es liegt nach nebenstehender Rechnung
bei z ¼ 2.
Der zugehörige Maximalumfang hat den
Wert U MAX ¼ Uð2Þ4,21.
y
1
P
f
1 z e
Extremalrechnung:
UðzÞ ¼2 ðe zÞþ4 lnz
U 0 ðzÞ ¼ 2 þ 4 z
U 00 ðzÞ¼ 8 z 2
U 0 ðzÞ ¼0 ) 2 þ 4 z ¼ 0 , z ¼ 2
U 00 ð2Þ¼ 2 < 0 ) Maximum
U MAX ¼ Uð2Þ¼2 ðe 2Þþ4 ln2 4,21
x
Übung 2
Die Graphen von fðxÞ¼x 2 und gðxÞ¼2 lnx schneiden aus der senkrechten Geraden
x ¼ t ðt > 0Þ eine Strecke heraus. Für welchen Wert von t ist die Länge dieser Strecke am kleinsten?
Lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch und rechnerisch.