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3. 4. Die Elementare Ableitung Funktionsuntersuchungen
von fðxÞ¼ln x 255
4. Elementare Funktionsuntersuchungen
In diesen Abschnitt werden unterschiedliche Problemstellungen aus der Differentialrechnung
der Logarithmusfunktionen exemplarisch angesprochen, die später im Rahmen von umfassenderen
Kurvenuntersuchungen als Teilaufgaben oder als Zusatzaufgaben wieder auftreten.
c
...................................................................................
c
Beispiel: Definitionsmenge und Graph
Gegeben ist die Logarithmusfunktion
fðxÞ¼lnð4 2xÞ.
a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge
der Funktion f.
b) Wo liegt die Nullstelle von f ?
c) Wo hat die Funktion f den Wert 2?
d) Zeichnen Sie den Graphen von f.
Lösung:
Die Logarithmusfunktion gðxÞ¼ln x ist
nur für x > 0 definiert.
Daher muss auch bei der Funktion f das
Funktionsargument, d.h. der innere Term
4 2x, positiv sein. Dies ist für x < 2 der
Fall. Daher gilt: D f ¼fx 2 R: x < 2g.
Die Nullstelle von f liegt laut nebenstehender
Rechnung bei x ¼ 1,5.
Der Funktionswert y ¼ 2 wird an der Stelle
x 1,7 angenommen.
f
-2
-1
Definitionsmenge:
4 2x> 0
4 > 2x
x < 2
y
Nullstelle: Funktionswert 2:
lnð4 2xÞ¼0 lnð4 2xÞ¼2
4 2x¼ 1 4 2x¼ e 2
x ¼ 1,5 x ¼ 4 e2
2
1,69
2
1
x
c
................................................
c
Beispiel: Steigung und Tangente
Gegeben ist fðxÞ¼lnðx 2 Þ für x 6¼ 0.
a) Welche Steigung und welchen Steigungswinkel
hat f bei x ¼ 1?
b) Wie lautet die Gleichung der Tangente
t an den Graphen von f in
Pðej2Þ?
Lösung zu a:
f hat die Ableitung f 0 ðxÞ¼ 2 . Die Steigung
x
an der Stelle 1 beträgt also f 0 ð1Þ¼ 2 1 ¼ 2.
Steigungswinkel: a ¼ arctan 2 63,4 .
y
1
P(e|2)
1 2 3
Lösung zu b:
Die Tangente geht durch den Punkt Pðej2Þ
des Graphen von f und hat dort die Steigung
m ¼ f 0 ðeÞ¼ 2 . Ihre Gleichung lautet daher
e
tðxÞ¼f 0 ðeÞðx eÞþ2 ¼ 2 e x:
t
x
f
Übung 1
Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ln ð0,5x þ 3Þ. Bestimmen Sie die Definitionsmenge von f, skizzieren
Sie den Graphen von f und stellen Sie die Gleichung der Normalen in der Nullstelle auf.