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3. Die Ableitung von fðxÞ¼ln x 253
E. EXKURS: Flächeninhaltsbestimmungen mit logarithmischer Integration
Mit der logarithmischen Integration lassen sich Flächenprobleme für den Fall lösen, dass die
Randkurven einfache gebrochen-rationale Funktionen sind.
c
...............................................................................................................
Beispiel: Gegeben sind die Funktionen
gx ð Þ¼ 3 2 x und hðxÞ¼
6 ð 2xþ 2 x > 0Þ
sowie
die vertikale Gerade k mit der Gleichung
x ¼ 4.
Welchen Inhalt hat die Fläche A, die von
den drei Graphen von g, h und k sowie
der x-Achse umschlossen wird?
Fertigen Sie zunächst eine Skizze an.
Lösung:
Anhand der Skizze erkennen wir, dass die
Fläche A in die Teilflächen A 1 und A 2 zerlegbar
ist.
Die Schnittstelle der Funktionen g und h
liegt bei x ¼ 1.
A 1 hat den Inhalt 0,75.
Zur Berechnung des Inhaltes von A 2 müssen
wir im Integranden den Faktor 3
6
2xþ 2
ausklammern, um einen Bruchterm der
Form f0 ðxÞ
zu erhalten, den wir mittels logarithmischer
Integration behandeln können.
fx ð Þ
A 2 hat den Inhalt 2,75.
c Als Gesamtinhalt erhalten wir A 3,5.
1
y
A
A 1 A 2
1
Schnittstellen von g und h:
3
2 x ¼ 6
2xþ 2
6x 2 þ 6x ¼ 12
x 2 þ x 2 ¼ 0
x ¼ 1, ðx ¼ 2Þ
Flächeninhalte:
h i 1
3
A 1 ¼
2 xdx¼ 3 4 x2 ¼ 0,75
0
ð 1 0
ð 4 ð 4
6
A 2 ¼
2x þ 2 dx ¼ 3
1
1
g
4
¼ 3 lnj2xþ 2j
1
2,75
h
2
2xþ 2 dx
k
x = 4
¼ 3ln10 ð ln4 Þ
Resultat: A ¼ A 1 þ A 2 3,5
x
Übung 4
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A unter dem Graphen von f über dem Intervall I.
a) fx ð Þ¼ 1 ,I¼ ½0;4Š b) fx ðÞ¼
4x
,I¼ ½0;3Š c) fx ð Þ¼ ex ,I¼ ½ 2;2 Š
x þ 3
x 2 þ 2
e x þ 1
Übung 5
Die Graphen von f und g schließen eine Fläche A ein. Bestimmen Sie deren Inhalt.
a) fx ð Þ¼ 10
b) fx ðÞ¼ 1
c) fx ð Þ¼ 3x 2 10x þ 9
2x þ 1
2x
gx ðÞ¼ 5xþ 10 gðxÞ¼ 5 6 x þ 8 gx ðÞ¼ 2 3
x
Übung 6
Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die von den Graphen der Funktionen fx ðÞ¼ 12
gx ð Þ¼ x 2 þ 2, der vertikalen Geraden x ¼ 3 und den Koordinatenachsen umschlossen wird.
3xþ 1 und