Download (PDF: 6.1 MB)
Download (PDF: 6.1 MB)
Download (PDF: 6.1 MB)
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
3. Die Ableitung von fðxÞ¼ln x 251<br />
B. Rechnerische Differentiation von f (x) = ln x<br />
Der rechnerische Nachweis der Gültigkeit<br />
der Regel für die Ableitung der Funktion<br />
fx ðÞ¼ lnx kann mithilfe der Formel für<br />
die Ableitung der Umkehrfunktion geführt<br />
werden, denn die Ableitung der Umkehrfunktion<br />
f 1 ðÞ¼ x e x ist uns bekannt. Es<br />
gilt nämlich ðf 1 Þ 0 ðxÞ¼ e x .<br />
Setzen wir diese drei Identitäten in die Umkehrformel<br />
ein, so erhalten wir laut nebenstehender<br />
Rechnung die logarithmische<br />
Ableitungsformel, die damit bewiesen ist.<br />
Beweis der logarith. Ableitungsregel:<br />
f 0 1<br />
ðÞ¼ x<br />
ð<br />
f 1<br />
Þ 0 ðfx<br />
ð ÞÞ<br />
fx ðÞ¼ lnx<br />
f 1 ðÞ¼ x e x<br />
ðf 1 Þ 0 ðxÞ¼ e x<br />
ðf 1 Þ 0 ðfx<br />
ð ÞÞ¼ e lnx<br />
f 0 ðÞ¼ x<br />
1 ¼ 1 e ln x x<br />
Umkehrformel<br />
Übung 1<br />
a) Welche Steigung m und welchen Steigungswinkel a hat die Funktion fx ðÞ¼ ln x an den<br />
Stellen x ¼ 1 und x ¼ 2?<br />
b) An welcher Stelle x steigt die Funktion fx ð Þ¼ lnx unter einem Winkel von 30° gegen die<br />
Horizontale an?<br />
C. Ableitungsübungen<br />
Wir üben nun das Differenzieren von Funktionen, deren Gleichungen logarithmische Terme<br />
enthalten. Dabei wenden wir bereits bekannte Regeln wie Produkt- und Kettenregel an.<br />
...............................<br />
c Beispiel: Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f 0 von f. Dabei gelte stets x > 0.<br />
a) fðÞ¼ x lnð2xÞ b) fðxÞ¼ lnðx 3 Þ c) fðÞ¼ x x lnð2xÞ<br />
Lösung zu a und zu b:<br />
Wir verwenden hierbei die Kettenregel.<br />
a) f 0 ðÞ¼ x ½lnð2xÞŠ 0 ¼ 1<br />
2x 2 ¼ 1 x<br />
c b) f 0 ðÞ¼ x ½lnðx 3 ÞŠ 0 ¼ 1 3x 2 ¼ 3 x 3 x<br />
Lösung zu c:<br />
Wir verwenden Produkt- und Kettenregel.<br />
c) f 0 ðÞ¼ x ½x lnð2xÞŠ 0<br />
¼ 1 lnð2xÞþ x 1<br />
2x 2<br />
¼ lnð2xÞþ 1<br />
Übung 2<br />
Bestimmen Sie die Ableitungsfunktionen f 0 und f 00 . Nennen Sie jeweils die Definitionsmenge.<br />
a) fx ð Þ¼ lnð5xÞ b) fx ðÞ¼ lnðx 2 Þ c) fx ð Þ¼ x þ lnð2xÞ<br />
d) fx ð Þ¼ x 2 lnðÞ<br />
x<br />
e) fx ðÞ¼ lnx<br />
pffiffiffi<br />
f) fx ð Þ¼ ln x<br />
x<br />
g) fx ð Þ¼ lnð2e 2x Þ h) fx ðÞ¼ ðlnxÞ 3 p<br />
i) fx ð Þ¼<br />
ffiffiffiffiffiffiffi<br />
ln x<br />
Übung 3<br />
h i 0<br />
Berechnen Sie ½lnðx n ÞŠ 0 , ln 1 x und ½lnðaxÞŠ<br />
0 auf zwei verschiedene Arten ðx > 0, a > 0, n 2 NÞ.<br />
Beispiel: Für x > 0 gilt ½lnðx 2 ÞŠ 0 ¼ 1 2x¼ 2 , aber auch ½lnð<br />
x 2 x2ÞŠ 0 ¼ ½2 lnxŠ 0 ¼ 2 1 x x ¼ 2 x .