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250 IX. Logarithmusfunktionen 3. Die Ableitung von f(x) = ln x Logarithmische Integration A. Graphische Differentiation von f (x) = ln x Mithilfe des Differentialquotienten kann man Ableitungsregeln gewinnen. Bei der Logarithmusfunktion gelingt dies nicht, da der im Differenzenquotienten auftretende Term ln(x+h) nicht weiter umformbar ist. f 0 fðx þ hÞ fðxÞ ðxÞ¼lim h!0 h ¼ lim lnðx þ hÞ lnðxÞ h!0 h Aus diesem Grund versuchen wir, die Ableitung der Funktion zeichnerisch zu gewinnen. ¼ ? c ....................................................................................................................................... c Beispiel: Gegeben sei die natürliche Logarithmusfunktion f(x) =ln x. Bestimmen Sie zeichnerisch die Ableitungsfunktion von f. Lösung: Wir zeichnen den Graphen von f und tragen in einigen Punkten die Tangenten an, deren Steigungen wir angenähert ablesen und tabellieren. Falls die Ablesungen zu ungenau erscheinen, können wir die Steigungen auch rechnerisch mithilfe des Differenzenquotienten ermitteln, wie rechts für das Beispiel f 0 ð2Þ dargestellt. x 0,5 1 2 3 f 0 ðxÞ 2 1 0,5 0,3 Mithilfe dieser Wertetabelle skizzieren wir die Ableitungsfunktion f 0 , deren Funktionswerte die Steigungen von f sind. Aufgrund des Verlaufs des Graphen von f 0 liegt die Vermutung nahe, dass es sich hierbei um die Reziprokenfunktion handelt. Die Tabellenwerte bekräftigen diese Vermutung, denn offenbar gilt stets angenähert der Zusammenhang f 0 ðxÞ¼ 1 x . Dies verträgt sich auch mit der Beobachtung, dass die Logarithmusfunktion immer steiler wird, so dass ihre Steigung über alle Grenzen wächst, wenn man sich von rechts der Stelle x=0 nähert, und dass ihre Steigung für x !1gegen null tendiert. y 3 2 1 -1 f 0 lnð2 þ hÞ lnð2Þ ð2Þ¼lim h!0 h lnð2 þ 0,01Þ lnð2Þ m = 2 0,01 0,6981 0,6931 0,01 0,5 ? f'(x) = 1 x m = 1 m = 0,5 m = 0,3 f(x) = ln x 1 2 3 4 x Logarithmische Ableitung Die natürliche Logarithmusfunktion f(x)=ln x ist für x >0 differenzierbar. Es gilt die sog. logarithmische Ableitungsregel: ðlnxÞ 0 ¼ 1 x :
3. Die Ableitung von fðxÞ¼ln x 251 B. Rechnerische Differentiation von f (x) = ln x Der rechnerische Nachweis der Gültigkeit der Regel für die Ableitung der Funktion fx ðÞ¼ lnx kann mithilfe der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion geführt werden, denn die Ableitung der Umkehrfunktion f 1 ðÞ¼ x e x ist uns bekannt. Es gilt nämlich ðf 1 Þ 0 ðxÞ¼ e x . Setzen wir diese drei Identitäten in die Umkehrformel ein, so erhalten wir laut nebenstehender Rechnung die logarithmische Ableitungsformel, die damit bewiesen ist. Beweis der logarith. Ableitungsregel: f 0 1 ðÞ¼ x ð f 1 Þ 0 ðfx ð ÞÞ fx ðÞ¼ lnx f 1 ðÞ¼ x e x ðf 1 Þ 0 ðxÞ¼ e x ðf 1 Þ 0 ðfx ð ÞÞ¼ e lnx f 0 ðÞ¼ x 1 ¼ 1 e ln x x Umkehrformel Übung 1 a) Welche Steigung m und welchen Steigungswinkel a hat die Funktion fx ðÞ¼ ln x an den Stellen x ¼ 1 und x ¼ 2? b) An welcher Stelle x steigt die Funktion fx ð Þ¼ lnx unter einem Winkel von 30° gegen die Horizontale an? C. Ableitungsübungen Wir üben nun das Differenzieren von Funktionen, deren Gleichungen logarithmische Terme enthalten. Dabei wenden wir bereits bekannte Regeln wie Produkt- und Kettenregel an. ............................... c Beispiel: Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f 0 von f. Dabei gelte stets x > 0. a) fðÞ¼ x lnð2xÞ b) fðxÞ¼ lnðx 3 Þ c) fðÞ¼ x x lnð2xÞ Lösung zu a und zu b: Wir verwenden hierbei die Kettenregel. a) f 0 ðÞ¼ x ½lnð2xÞŠ 0 ¼ 1 2x 2 ¼ 1 x c b) f 0 ðÞ¼ x ½lnðx 3 ÞŠ 0 ¼ 1 3x 2 ¼ 3 x 3 x Lösung zu c: Wir verwenden Produkt- und Kettenregel. c) f 0 ðÞ¼ x ½x lnð2xÞŠ 0 ¼ 1 lnð2xÞþ x 1 2x 2 ¼ lnð2xÞþ 1 Übung 2 Bestimmen Sie die Ableitungsfunktionen f 0 und f 00 . Nennen Sie jeweils die Definitionsmenge. a) fx ð Þ¼ lnð5xÞ b) fx ðÞ¼ lnðx 2 Þ c) fx ð Þ¼ x þ lnð2xÞ d) fx ð Þ¼ x 2 lnðÞ x e) fx ðÞ¼ lnx pffiffiffi f) fx ð Þ¼ ln x x g) fx ð Þ¼ lnð2e 2x Þ h) fx ðÞ¼ ðlnxÞ 3 p i) fx ð Þ¼ ffiffiffiffiffiffiffi ln x Übung 3 h i 0 Berechnen Sie ½lnðx n ÞŠ 0 , ln 1 x und ½lnðaxÞŠ 0 auf zwei verschiedene Arten ðx > 0, a > 0, n 2 NÞ. Beispiel: Für x > 0 gilt ½lnðx 2 ÞŠ 0 ¼ 1 2x¼ 2 , aber auch ½lnð x 2 x2ÞŠ 0 ¼ ½2 lnxŠ 0 ¼ 2 1 x x ¼ 2 x .
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IX. Logarithmusfunktionen<br />
3. Die Ableitung von f(x) = ln x<br />
Logarithmische Integration<br />
A. Graphische Differentiation von f (x) = ln x<br />
Mithilfe des Differentialquotienten kann<br />
man Ableitungsregeln gewinnen. Bei der<br />
Logarithmusfunktion gelingt dies nicht, da<br />
der im Differenzenquotienten auftretende<br />
Term ln(x+h) nicht weiter umformbar ist.<br />
f 0 fðx þ hÞ fðxÞ<br />
ðxÞ¼lim<br />
h!0 h<br />
¼ lim<br />
lnðx þ hÞ lnðxÞ<br />
h!0 h<br />
Aus diesem Grund versuchen wir, die Ableitung der Funktion zeichnerisch zu gewinnen.<br />
¼ ?<br />
c<br />
.......................................................................................................................................<br />
c<br />
Beispiel: Gegeben sei die natürliche Logarithmusfunktion f(x) =ln x. Bestimmen Sie zeichnerisch<br />
die Ableitungsfunktion von f.<br />
Lösung:<br />
Wir zeichnen den Graphen von f und tragen<br />
in einigen Punkten die Tangenten an,<br />
deren Steigungen wir angenähert ablesen<br />
und tabellieren. Falls die Ablesungen zu<br />
ungenau erscheinen, können wir die Steigungen<br />
auch rechnerisch mithilfe des Differenzenquotienten<br />
ermitteln, wie rechts<br />
für das Beispiel f 0 ð2Þ dargestellt.<br />
x 0,5 1 2 3<br />
f 0 ðxÞ 2 1 0,5 0,3<br />
Mithilfe dieser Wertetabelle skizzieren<br />
wir die Ableitungsfunktion f 0 , deren Funktionswerte<br />
die Steigungen von f sind.<br />
Aufgrund des Verlaufs des Graphen von f 0<br />
liegt die Vermutung nahe, dass es sich hierbei<br />
um die Reziprokenfunktion handelt.<br />
Die Tabellenwerte bekräftigen diese Vermutung,<br />
denn offenbar gilt stets angenähert<br />
der Zusammenhang f 0 ðxÞ¼ 1 x .<br />
Dies verträgt sich auch mit der Beobachtung,<br />
dass die Logarithmusfunktion immer<br />
steiler wird, so dass ihre Steigung über alle<br />
Grenzen wächst, wenn man sich von rechts<br />
der Stelle x=0 nähert, und dass ihre Steigung<br />
für x !1gegen null tendiert.<br />
y<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-1<br />
f 0 lnð2 þ hÞ lnð2Þ<br />
ð2Þ¼lim<br />
h!0 h<br />
lnð2 þ 0,01Þ<br />
lnð2Þ<br />
m = 2<br />
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0,01<br />
0,6981 0,6931<br />
0,01<br />
0,5<br />
?<br />
f'(x) = 1 x<br />
m = 1<br />
m = 0,5<br />
m = 0,3<br />
f(x) = ln x<br />
1 2 3 4 x<br />
Logarithmische Ableitung<br />
Die natürliche Logarithmusfunktion<br />
f(x)=ln x ist für x >0 differenzierbar.<br />
Es gilt die sog. logarithmische Ableitungsregel:<br />
ðlnxÞ 0 ¼ 1 x :
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