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Wie Euler Logarithmen berechnete
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Die Beziehung sagt aus: Kennt man die Logarithmen zweier Zahlen A und B, dann ist das arithmetische
Mittel der beiden Logarithmen ln A und ln B gleich dem Logarithmus der Quadratwurzel
aus dem Produkt der beiden Zahlen.
Soll nun der Logarithmus einer Zahl Z berechnet ____ werden, die zwischen A und B liegt, dann kann
ln A + ln B
man den Logarithmus einer weiteren Zahl C = √ AB bestimmen durch die Mittelbildung ______ .
2
Anschließend wählt man von den drei Zahlen A, B, C diejenigen beiden Zahlen aus, zwischen
denen Z liegt, und verfährt in gleicher Weise.
Der nebenstehende Ausschnitt
aus einer Seite der Introductio
zeigt die Vorgehensweise von
Euler bei der Berechnung des
dekadischen Logarithmus von 5.
Die Berechnung von log 10
5 beginnt
Euler mit den Zahlen A = 1
und B = 10, deren Logarithmen
bekannt sind; Euler schreibt daneben
____ lA = 0 und lB = 1, setzt
C = √ AB und notiert in der dritten
Zeile den Wert dieser Wurzel.
lC berechnet er als arithmetisches
Mittel von lA und lB,
usw.
Als Ergebnis erhält Euler
schließlich log 10
5 = 0,6989700.
Abschließend soll der natürlichen Logarithmus der Zahl 2 ermittelt werden. Als erste Näherungszahl
wird A = 1 gewählt, als zweite B = e ≈ 2,718 281 828, denn ln e = 1 ist bekannt und 2 liegt
zwischen 1 und e. Die Quadratwurzeln der ersten Spalte (ab Zeile 3) werden der Einfachheit
halber nicht mit „Heron“, sondern mit einem zehnstelligen Taschenrechner bestimmt. Die Zahlen
in der zweiten Spalte (ab Zeile 3) sind die Mittelwerte von zwei bereits berechneten Logarithmen.
A = 1,000000000 ln A = 0,000000000 Es sei: ____
B = 2,718281828 ln B = 1,000000000 C = √ AB
C = 1,648721271
ln C = ________ ln A + ln B
= 0,500000000 D = √ ___
BC
2
ln B + ln C
D = 2,117000017
ln D = ________ = 0,750000000 E = √ ____
CD
2
ln C + ln D
E = 1,868245958
ln E = ________
___
= 0,625000000 F = √ DE
2
F = 1,988737470
ln F = ________
___
ln D + ln E
= 0,687500000 G = √ DF
2
G = 2,051866774
ln G = ________ ln D + ln F
= 0,718750000 H = √ ___
FG
2
ln F + ln G
H = 2,020055528
ln H = ________
___
= 0,703125000 I = √ FH
2
I = 2,004335331
ln I = ________
___
ln F + ln H
= 0,695312500 J = √ FI
2
J = 1,996521168
ln J = _______ ln F + ln I
= 0,691406250 K = √ __
IJ
2
Setzen Sie das Verfahren fort, bis in der ersten Spalte 2,000 000 000 steht. Vergleichen Sie Ihren
Wert für ln 2 mit dem Näherungswert, den Ihr Taschenrechner liefert.