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248 Mathematische Streifzüge
Wie Euler Logarithmen berechnete
Heute ist es sehr einfach, den Logarithmus einer Zahl zu ermitteln. Jeder wissenschaftliche
Taschenrechner verfügt über entsprechende Tasten. Bevor es Taschenrechner gab, wurden Logarithmen
aus Tabelle – sogenannten Logarithmentafeln – abgelesen. Aber wie wurden diese
Tafeln aufgestellt?
Es sind verschiedene historische Verfahren
zur Berechnung von Logarithmen bekannt.
Eines beschreibt Leonhard Euler
(1707–1783) in seinem berühmten Werk
Introductio in Analysin Infinitorum.
Die Schöpfer der ersten Logarithmentafeln mussten ihr Werk allein mithilfe der vier Grundrechenarten
erledigen. Außerdem beherrschten sie die Berechnung von Quadratwurzeln beispielsweise
mit dem Verfahren von Heron, bei dem nach der Vorschrift x n + 1
= 1_
2 ( x n
+ __ x a
n
) ausgehend
von einem beliebigen Startwert x 0
iterativ eine Zahlenfolge x 1
, x 2
, x 3
, … erzeugt wird, die gegen
__
die gesuchte Zahl √ a strebt.
Das von Euler beschriebene Verfahren zur Berechnung von Logarithmen verwendet nur Multiplikationen
und das Quadratwurzelziehen sowie die Bildung des arithmetischen Mittels zweier
Zahlen. Es beruht im Wesentlichen auf der Anwendung zweier Rechengesetze für Logarithmen:
__ 1_
ln(a · b) = ln a + ln b und ln √ c = ln c
2
= ___ ln c . (vgl. roten Kasten auf S. 247)
2
_____
Demnach gilt für zwei positive Zahlen A und B: ln √ A · B = ________ ln A + ln B
.
2
Diese Beziehung bildet die Grundlage für Eulers Berechnungsverfahren für Logarithmen.