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1. 2. Die Differentiation natürliche Logarithmusfunktion
der Umkehrfunktion 247
Übungen
1. Ergänzen Sie die Wertetabelle der natürlichen Logarithmusfunktion f(x)=ln x.
x 0,1 0,25 0,5 1 2 e 3 5 10 100 1000
f(x) = ln x
2. An welcher Stelle x besitzt die natürliche Logarithmusfunktion den Funktionswert y?
aÞ y ¼ 0,5 bÞ y ¼ 1 cÞ y ¼ 2 dÞ y ¼ 10 eÞ y ¼ 1 fÞ y ¼ 100
Beispielrechnung für den Funktionswert y = 5: y = 5, ln x = 5, x ¼ e 5 ,x 148,41
3. Welchen Funktionswert würde die Funktion f(x)=ln x erreichen, wenn man den positiven
Teil der x-Achse von der Erde bis an die äußere Grenze des Weltalls legen würde?
Die verwendete Maßeinheit auf den Achsen sei Zentimeter.
Informationen: Nehmen Sie an, dass diese äußere Grenze 10 Milliarden Lichtjahre entfernt ist. Ein
Lichtjahr ist die Strecke, die das Licht in einem Jahr (365 Tage) zurücklegt. Das Licht legt in einer
Sekunde im Vakuum ca. 300000 km zurück.
4. Finden Sie durch Probieren mit dem Taschenrechner eine möglichst kleine natürliche Zahl N
heraus, sodass im Intervall [N ; N þ 1] der Zuwachs der Funktion f(x)=ln x unter 0,01 liegt.
5. Für das Rechnen mit natürlichen Logarithmen gelten die gleichen
Rechengesetze wie für den Zehnerlogarithmus. Rechts sind
diese Gesetze zur Erinnerung dargestellt.
Vereinfachen Sie mithilfe dieser Rechengesetze den Funktionsterm
der Funktion f.
aÞ fðxÞ¼lnðe 2x pffiffi
Þ bÞ fðxÞ¼lnð x Þ cÞ fðxÞ¼ln
1
x
dÞ fðxÞ¼lnðx 2 Þ eÞ fðxÞ¼lnðx e x Þ fÞ fðxÞ¼ln x þ 1
e
gÞ fðxÞ¼e lnðxþ1Þ lnx hÞ fðxÞ¼e xln2 iÞ fðxÞ¼ln x
e
3x
jÞ fðxÞ¼lnðx þ 1Þ lnx þ ln 1 x
6. Berechnen Sie die folgenden Werte des natürlichen Logarithmus
mithilfe der Rechengesetze bzw. der rechts abgebildeten Tabelle
für die Logarithmen von 2, 3, 5 und 7.
aÞ exakt: lnðe 2 Þ, ln 1 pffiffi
, lnð e
e
Þ, lnðe e Þ
bÞ gen€ahert: lnð6Þ, lnð125Þ, lnð10 6 Þ, lnð315 000Þ:
Rechenregeln für ln
lnða bÞ¼lna þ lnb
¼ lna lnb
ln a b
lnða b Þ¼b lna
lnðe x Þ¼x
e lnx ¼ x
ln 2 0,693
ln 3 1,099
ln 5 1,609
ln 7 1,946
7. Lösen Sie die logarithmische Gleichung.
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
aÞ ln x ¼ 2,5 bÞ ln x ¼ 3 cÞ lnð2xþ 1Þ¼0,5 dÞ lnð 1 xÞ¼3
eÞ lnðx þ 1Þ¼1 þ ln x fÞ lnðx 2 Þ lnðx þ 4Þ¼ln2