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1. Die Differentiation der Umkehrfunktion 245
Übung 1
Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von f mithilfe der Umkehrformel (1. Fassung).
p
a) fx ðÞ¼
ffiffi
ffiffiffi
1
x ,x> 0 b) fx ð Þ¼ 4p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x ,x> 0 c) fx ðÞ¼ x 5 ,x> 0 d) fx ð Þ¼
3p
2x 2,x> 1
In manchen Fällen ist es von Vorteil, die
rechts dargestellte zweite Fassung der
Umkehrformel zu verwenden. Diese zweite
Fassung ist völlig äquivalent zur ersten
Fassung, und sie kann wie diese auch graphisch-anschaulich
begründet werden.
Umkehrformel „2. Fassung“
ðf 1 Þ 0 ðÞ¼ x
1
f 0 ðf 1 ðÞ x Þ
Die Ableitung der Umkehrfunktion an der
Stelle x ist gleich dem Kehrwert der Ableitung
der Funktion an der Stelle f
1 (x).
c
..................................................................................
c
Beispiel: Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ x 3 2 ,x> 0. Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion
f
1 von f.
Lösung:
Wir bestimmen zunächst die Umkehrfunktion
von f.
Dies ist die Funktion f 1 ðxÞ¼ x 2 3 .
Umkehrfunktion von f:
fx ðÞ¼ x 3 2
f 1 ðÞ¼ x x 2 3
Wir können den Funktionsterm
pffiffi
von f als Ableitung von f:
Produkt fx ðÞ¼ x x darstellen und hiervon
mit Hilfe der Produktregel und Wur-
fx ðÞ¼ x 3 1 pffiffi
2 ¼ x x 2 ¼ x x
zelregel die Ableitung f 0 ðÞ¼ x
3 pffiffiffi
x
f 0 pffiffi
p
ðÞ¼ x 1 x þ x p
1
2
2 ffiffi ¼ ffiffi x
x þ
bilden.
f 0 ðÞ¼ x
3 2 pffiffiffi
x
Dieses Ergebnis können wir nun in die Ableitung von f –1 :
Umkehrformel (2. Fassung) einsetzen.
ðf
So erhalten wir die gesuchte Ableitung
1 Þ 0 ðxÞ¼ 1
f 0 ðf 1 ðxÞÞ ¼ 1 ¼ p
1
f 0 ðx 2 3Þ 3
ðf 1 Þ 0 ðxÞ¼ 2 3 x 1 3 . ¼ 2 ¼ 2
3 x 1 3 3 x 1 3
ffiffiffiffi
2 x 2 3
pffiffi
x
2
Übung 2
Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion von f auf zwei Wegen.
Weg 1: Bestimmen Sie zunächst f
1 und anschließend (f
1 ) 0 durch Differentiation von f
1 .
Weg 2: Bestimmen Sie (f
1 ) 0 direkt mithilfe der 2. Fassung der Umkehrformel.
p
a) fx ðÞ¼ 2xþ 6 b) fx ð Þ¼ 2 þ
ffiffi x ,x> 0 c) fx ðÞ¼
1
2x ,x> 0 d) fx ð Þ¼ ðx þ 1Þ2
,x> 1
Übung 3
p
Bestimmen Sie mithilfe der Umkehrformel die Ableitung von fx ð Þ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x 1,x> 1, bzw. die
Ableitung der Umkehrfunktion von fx ð Þ¼ x 2 p ffiffi
x ,x> 0.